tag:blogger.com,1999:blog-14878902181183706062024-03-14T11:02:33.665-07:00Towards the limit edgeWhere some strange ideas come to life...Unknownnoreply@blogger.comBlogger76125tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-44721349974584019452019-04-21T18:08:00.000-07:002019-04-21T18:25:32.480-07:00Envolventes cuadráticasMuchos de nosotros quizá vimos cómo dibujar patrones curvos utilizando lineas rectas en clase de arte ( o si tuvimos suerte, en matemáticas). Al dibujar linear rectas y realizar corrimientos tanto verticales como horizontales, era posible dibujar patrones que poco a poco iban revelando curvas como un tipo de ilusión óptica emergente,<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNA2qkdskrLR8J7s6SOYY9qCkxsJUhoiS6SJm5Bo36-GyIFRy6VCOM5cxqzGBmjR4LV5MwZFtcADfwMOXnidtMDn-iSlNZ-lDK6OjiDD5Q3ngTIzON99anT1Sfy8x7yTsPRFBCS4FK5M7m/s1600/temp.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="443" data-original-width="680" height="208" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNA2qkdskrLR8J7s6SOYY9qCkxsJUhoiS6SJm5Bo36-GyIFRy6VCOM5cxqzGBmjR4LV5MwZFtcADfwMOXnidtMDn-iSlNZ-lDK6OjiDD5Q3ngTIzON99anT1Sfy8x7yTsPRFBCS4FK5M7m/s320/temp.png" width="320" /></a></div>
<br />
Siempre me llamó mucho la atención este tipo de curvas producto de una extrapolación de nuestro cerebro. Pero, ¿será posible describir esta envolvente?<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-mnZtR5O0kYnKCM2sPdKjVd8SELvHj12ajlC6C1E1W5KI97C-vxNNuilIw6R_M-hy2gqAM0BYGJdM769lGNV9vFlc0O2hfT_0S8eYCU1VeOaMPu7cr-XuhwFCuYF7UJPQeIo6UvSk_STT/s1600/temp5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="443" data-original-width="680" height="130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-mnZtR5O0kYnKCM2sPdKjVd8SELvHj12ajlC6C1E1W5KI97C-vxNNuilIw6R_M-hy2gqAM0BYGJdM769lGNV9vFlc0O2hfT_0S8eYCU1VeOaMPu7cr-XuhwFCuYF7UJPQeIo6UvSk_STT/s200/temp5.png" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYyB6l8RJ6wnwWeYgvfIQ8scmpF10giCWr-MO6WaJFwjqqebYMluhcRVhFVwtyZyS9Jbs-ur9QYd5qJYKRpJcubTeOZJoRqE8y1J055V8A2HqRTpNySaCzpy6w7CwHIJ1ZCyumXSd0mj_d/s1600/temp6.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="443" data-original-width="680" height="130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYyB6l8RJ6wnwWeYgvfIQ8scmpF10giCWr-MO6WaJFwjqqebYMluhcRVhFVwtyZyS9Jbs-ur9QYd5qJYKRpJcubTeOZJoRqE8y1J055V8A2HqRTpNySaCzpy6w7CwHIJ1ZCyumXSd0mj_d/s200/temp6.png" width="200" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Las lineas se construyen una a una comenzando por una que une los puntos $(0,a)$ y $(b,0)$. Luego, la siguiente une los puntos $(0,a-1)$ y $(b+1,0)$. Este proceso se repite hasta obtener el patrón anterior.<br />
<br />
Este conjunto de lineas describe una curva <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Envolvente_(matem%C3%A1ticas)" target="_blank">envolvente</a>. Para poder encontrar esta envolvente, podemos notar que la envolvente tendrá como lineas tangentes a las lineas del conjunto. Por lo tanto, podremos describir la curva envolvente por medio de una ecuación diferencial que relacione las ecuaciones de las lineas del conjunto con la derivada de la envolvente.<br />
<br />
Para esto, hay que notar que la envolvente tendrá como puntos de tangencia los puntos medios de las intersecciones de las lineas.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgndkEmrybQq2OQdYoSQwTg44M18zWDKdXn9g61qHUsT-Q7PC0ADLUehZzn6rE9GKkAJg2oxfCJjsSfQrTWd66qxDLTWmjBJ05uz6Dtz8Qs_nmZ73W_uWH2hnGZK0WCb_Wn6beFIWGM6JsK/s1600/temp2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="241" data-original-width="360" height="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgndkEmrybQq2OQdYoSQwTg44M18zWDKdXn9g61qHUsT-Q7PC0ADLUehZzn6rE9GKkAJg2oxfCJjsSfQrTWd66qxDLTWmjBJ05uz6Dtz8Qs_nmZ73W_uWH2hnGZK0WCb_Wn6beFIWGM6JsK/s320/temp2.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Es posible entonces encontrar los puntos de tangencia como</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
$$\left(X_n,Y_n\right)=\left(\frac{(b+n)^2}{a+b},\frac{(a-n)^2}{a+b}\right)\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
donde $n$ representa el número de linea considerado. Esto nos da la ecuación diferencial, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$f'\left(\frac{(b+x)^2}{a+b}\right)=-\frac{a-x}{b+x}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
con condición inicial, por ejemplo, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\left(\frac{b^2}{a+b},\frac{a^2}{a+b}\right)\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Notemos que se puede generalizar la variable discreta $n$ que identifica a las lineas a la variable continua $x$. Esta ecuación diferencial puede resolverse por medio de una sustitución, lo cuál da,</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$f(x)=-2 \sqrt{x} \sqrt{a+b}+a+b+x\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
La gráfica de esta función nos muestra como en efecto resulta ser la envolvente del conjunto de lineas, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvFkQJQCL8s_Xao8FkJT7uxOMEPmQtzb3PcxFZ9TQbSGEQ36bv9TaOm7OuTRyQvY5K5DLv-UNT5OfPc6I9Vlcqs_x2K06eRbom_4vhzpVrSOxSJ78tFT7WIeF_jni4PhbzbBkld18WdAbP/s1600/temp3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="241" data-original-width="360" height="133" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvFkQJQCL8s_Xao8FkJT7uxOMEPmQtzb3PcxFZ9TQbSGEQ36bv9TaOm7OuTRyQvY5K5DLv-UNT5OfPc6I9Vlcqs_x2K06eRbom_4vhzpVrSOxSJ78tFT7WIeF_jni4PhbzbBkld18WdAbP/s200/temp3.png" width="200" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh__uX169CYyIwzJJ-uKDNqNMKjZ6iwK-VwyFZJxZ_CWLJ8zS6HM4c2eNu9kwHHKPxOOFfawgZ9XChhMnWbmnqvEuMs-m_H7X9hv384CwpYYFV_afkGz-DLHPSPzgmWtc9vzAzD9py0ymlE/s1600/temp4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="383" data-original-width="586" height="130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh__uX169CYyIwzJJ-uKDNqNMKjZ6iwK-VwyFZJxZ_CWLJ8zS6HM4c2eNu9kwHHKPxOOFfawgZ9XChhMnWbmnqvEuMs-m_H7X9hv384CwpYYFV_afkGz-DLHPSPzgmWtc9vzAzD9py0ymlE/s200/temp4.png" width="200" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Esta función puede escribirse implícitamente como una ecuación entre $x$ e $y$. Esto nos lleva a describir que es una cónica de la forma, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$(y-x)^2+Ax+By+C=0\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
la cuál, luego de realizar una <a href="https://advancedsoftware.wordpress.com/2012/05/29/rotacion-en-r2-dos-dimensiones-2d/" target="_blank">rotación de ejes</a> obtenemos que es una parábola rotada por -45°,</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfPmRoGVWXJN2dRctJpphcnRil1q4z4d87d_A1TkowOQGH1fnkLEcUbavYk_XuffsWc2tEslBoHOb738WOX1YnZw-7U600yyaDUBtB6VylyBJrRI2cpea0X7R22SFaZUV60IsrwLXBaCdh/s1600/temp8.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="349" data-original-width="360" height="310" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfPmRoGVWXJN2dRctJpphcnRil1q4z4d87d_A1TkowOQGH1fnkLEcUbavYk_XuffsWc2tEslBoHOb738WOX1YnZw-7U600yyaDUBtB6VylyBJrRI2cpea0X7R22SFaZUV60IsrwLXBaCdh/s320/temp8.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
cuya ecuación con los ejes rotados $x'$ e $y'$ da las sustituciones </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$x'=y-x\,,\quad y'=y+x\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
obteniendo</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$x'^2+\left(\frac{B}{2}-\frac{A}{2}\right)x'+\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)y'+C=0\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-51221697117989340712018-05-27T15:55:00.002-07:002018-05-27T15:58:28.126-07:00There is math even in ImprovFrom some time now, I have been immersing myself into the world of Improv. It is a great practice and it is not only a good distraction, but it also provides some great life lessons.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgU7Z_cyq9L41QEzxUv77z87Du6MFpxaNPjt9Kr83ss7reyhdaqKSuKlnei9PncsnGoFff6q3SFHGlop9ktKoNo5yZaqfLrXjkfTkOT3Jegl6hVY2rdNTXMfOpwcotLirnq3ptseJeTpIDr/s1600/improv_Banner.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="339" data-original-width="948" height="114" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgU7Z_cyq9L41QEzxUv77z87Du6MFpxaNPjt9Kr83ss7reyhdaqKSuKlnei9PncsnGoFff6q3SFHGlop9ktKoNo5yZaqfLrXjkfTkOT3Jegl6hVY2rdNTXMfOpwcotLirnq3ptseJeTpIDr/s320/improv_Banner.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
One of the important skills in Improv is to <i>be in the moment</i>. Several games in improv emphasize this, and one of them is called <i>Enemy/Defender</i> or <i>Assassin.</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="font-style: italic; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/zu31ZWtTRdw/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/zu31ZWtTRdw?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<div style="font-style: italic; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
In a group of people, everyone secretly chooses an enemy, whom they have to avoid, and a defender, whom they need to keep between them and their enemy. This defines the game dynamics. From a mathematical perspective, this defines a two dimensional dynamical system.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibLhvf7PC1bIaXxtpwzS1Ypa3-1j439ohR6QOkkF3bFIZwMfNDUwXHxsd9mb-5cLipi_VlwZzVFdPlpMU2s9UKWLlJ_je7LZyYXqZXD5FV-T9-TtrxbWCD0_bQ136uxiEYHLx_cP9oTm7n/s1600/Screen+Shot+2018-05-27+at+5.07.32+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="232" data-original-width="377" height="196" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibLhvf7PC1bIaXxtpwzS1Ypa3-1j439ohR6QOkkF3bFIZwMfNDUwXHxsd9mb-5cLipi_VlwZzVFdPlpMU2s9UKWLlJ_je7LZyYXqZXD5FV-T9-TtrxbWCD0_bQ136uxiEYHLx_cP9oTm7n/s320/Screen+Shot+2018-05-27+at+5.07.32+PM.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Each person is represented by a point. Each point has an enemy and a defender. Each point has to move in order to put its defender between them and their enemy. This can be modeled by $n$ points, with $n\geq 3$. The positions of the points can be taken to be vectors $P_i=(x_i,y_i)$. Associated with each $i$, there is an enemy and a defender $j$ and $k$, with $j\neq i\neq k$, with position vectors $E_i$ and $D_i$ respectively. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The goal then can be stated as having $D_i$ between $P_i$ and $E_i$, for all $i$. The condition of motion depends whether $P_i$ is on the ray $\overrightarrow{E_iD_i}$. This can be measured by the distance between $P_i$ to the line $E_iD_i$ and the projection of $\overrightarrow{P_iD_i}$ onto $\overrightarrow{E_iD_i}$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Then, the dynamics of the system can be obtained by moving each point $P_i$ in order to satisfy these conditions on small time frames. It is important to avoid collisions and to restrict the $P_i$ to be only in the room to represent a more realistic situation. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/YAJxLYgfkvc/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/YAJxLYgfkvc?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
This is a simulation in which for every $P_i$, a change in position $v_i$ is computed in terms of all the positions $\{P_1,P_2, \dots, P_n\}$ together with $E_i$ and $D_i$. Here, the initial positions and the enemy/defender arrangement is randomly generated, giving different behaviors depending on the initial configurations. The dynamics also depend on the parameters of the $v_i$, such as size and direction. Just changing these by a little could change the entire dynamics for the system. This is to be expected, as the stability of orbits are very sensitive to initial data (eg. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_rotation" target="_blank">Irrational rotations</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_billiards" target="_blank">Billiard dynamics</a>, etc.)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkl0BZK1oytm-E6EcfniZAzHzCW0j_1r1bMhFd54sf202Iqvqlowr6H4P_F9m8R8-J84aVd4ylX_GDvNVzwLhga1-dd4bZkpLXJx76xolQQp1gb2YApwaS3K6vtSmgG-0pmrTcg9vWX1VW/s1600/008-02.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="374" data-original-width="748" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkl0BZK1oytm-E6EcfniZAzHzCW0j_1r1bMhFd54sf202Iqvqlowr6H4P_F9m8R8-J84aVd4ylX_GDvNVzwLhga1-dd4bZkpLXJx76xolQQp1gb2YApwaS3K6vtSmgG-0pmrTcg9vWX1VW/s320/008-02.gif" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Overall, Improv showed to be a great activity and even a nice excuse to use dynamical systems. Being in the moment and stable sometimes mean to avoid irrationality and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Commensurability_(mathematics)" target="_blank">incommensruable</a> lengths. (Pun intended)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-64879627301098709072017-11-29T14:39:00.001-08:002017-11-29T14:40:21.910-08:00La paradoja de pi=4Hace unos días, <a href="https://www.ohio.edu/cas/math/contact/profiles.cfm?profile=lopez" target="_blank">Sergio Lopez-Permouth</a> posteó un meme sobre por qué $\pi=4$<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioVMGVjx6_8_HflZmMWb0h9PFNIcGyoaGiCoqrkFpfmIHyB9qo2ADVOhdM2_M4AYeXxy4ndwaMfk5F3gcaRFzc6KUtOqN97qpRnovJqCcFPfjL430BeJ4R0OgXjTjziResXWqxxAq42c6P/s1600/317779_299580330059954_1505796595_n.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="600" data-original-width="425" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioVMGVjx6_8_HflZmMWb0h9PFNIcGyoaGiCoqrkFpfmIHyB9qo2ADVOhdM2_M4AYeXxy4ndwaMfk5F3gcaRFzc6KUtOqN97qpRnovJqCcFPfjL430BeJ4R0OgXjTjziResXWqxxAq42c6P/s320/317779_299580330059954_1505796595_n.jpg" width="226" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Este es un ejemplo interesante de por qué algunos procesos no son completamente <i>continuos</i> cuando realizamos un límite. Un resultado similar <i>muestra</i> que $\sqrt{2}=2$,</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/jUeIjZI32Jg/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/jUeIjZI32Jg?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En ambos casos el problema principal ocurre al querer aproximar la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco" target="_blank">longitud de arco</a> por medio de segmentos <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal" target="_blank">infinitesimales</a> verticales y horizontales. En este caso tenemos que este no es un sistema lineal, sino que cuadrático. Es decir,<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$ds\neq dx+dy\,,$$</div>
<br />
sino que<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$ds^2=dx^2+dy^2\,.$$</div>
<br />
En otras palabras, siempre tendremos <i>triángulos infinitesimales</i> y es por esto que se obtiene una aparente paradoja visual.<br />
<br />
Dada que esta relación sí se cumple en orden cuadrático, es de esperar que el resultado sea verdadero, no acerca de los perímetros, sino sobre las áreas, como bien lo sugirió <a href="http://www.wag.caltech.edu/home/mario/mario.html" target="_blank">Mario Blanco</a>. Esto es cierto dado que al remover los cuadrados se obtienen una <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann" target="_blank">suma de Riemann </a>correspondiente al área del círculo. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si nos enfocamos en un cuadrante de la figura, por ejemplo<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$0\leq x\leq 1/2\,,y=\sqrt{1/4-x^2}\,, $$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
tenemos que estamos realizando una suma de Riemann para la región entre<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$x=1/2\,, y=1/2\,, y=\sqrt{1/4-x^2}\,.$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Es de notar que luego de la segunda etapa, los cuadrados obtenidos en la $n$-ésima etapa no tendrán todos el mismo lado. Por lo tanto es un tanto complejo escribir una serie que describa la suma de Riemann, sin embargo, sabemos que los lados de los cuadrados tienden a 0 cuando $n$ tiende a infinito, y esto <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_de_Riemann" target="_blank">asegura</a> la existencia del límite y que sea igual a $1/4-\pi/4$.<br />
<br />
Inicialmente quise escribir la serie, pero no me gustaría tener 20 páginas de ecuaciones, hay <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulae_involving_%CF%80#Efficient_infinite_series" target="_blank">series más bonitas</a> que describen $\pi$.</div>
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-88396992659470017062017-01-25T15:07:00.002-08:002017-07-18T16:40:49.898-07:00The voodoo behind 1+2+3+4+...=-1/12 A couple days ago, my friend Adolfo posted a rant on Facebook about the famous (or infamous) series<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}\,.$$</div>
<br />
His comment was not about the result itself, but about the little effort made by mathematicians to clarify this voodoo.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVSrXkUIbjy1orEyx3KDA-h26MWno-FsivvBoQTs3jbS_0MYcl7670F9P8CqzYZZcH8WvVwZOK3iUUsBh5dJiKPYrfcJqv-yRgWA6szU9LcrLfFX4xErO4l3mPQnM738Y0_sbJt_BT6m97/s1600/de-supernatural-wikia.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVSrXkUIbjy1orEyx3KDA-h26MWno-FsivvBoQTs3jbS_0MYcl7670F9P8CqzYZZcH8WvVwZOK3iUUsBh5dJiKPYrfcJqv-yRgWA6szU9LcrLfFX4xErO4l3mPQnM738Y0_sbJt_BT6m97/s320/de-supernatural-wikia.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This result is very counter-intuitive as it states that if you add <i>all</i> positive integers, you will not only get a negative quantity, but also a fraction! I remember speaking about this result a couple years ago with a friend who was skeptical about it and he was telling me that it shouldn't be true since if he grabbed a calculator and start adding 1+2+3+4+..., he wouldn't approach a negative number, on the contrary, it would become bigger and bigger!</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCiPLReeDxl1KmAf-PSHn4caWTfBIyAo6uT3M-KymoX9at9otw_TWhmy2YE3ixuYH57-Qja3er-kK5-T3nqpHFRyDKVsmOdqgcMg14ViE5NRXIEM4NISBIM0_LsYJnLKNgoBxCbUnuKOXA/s1600/infinite-series-square.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCiPLReeDxl1KmAf-PSHn4caWTfBIyAo6uT3M-KymoX9at9otw_TWhmy2YE3ixuYH57-Qja3er-kK5-T3nqpHFRyDKVsmOdqgcMg14ViE5NRXIEM4NISBIM0_LsYJnLKNgoBxCbUnuKOXA/s320/infinite-series-square.jpg" width="317" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The trick lies in realizing we are talking about a mathematical object called a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)" style="font-style: italic;" target="_blank">series</a>, which is essentially different that any usual <i>finite</i> sum. One thing that can help to see that series are different than just adding a finite number of terms is that sometimes the order in which we add makes a difference! This is called <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem" target="_blank">Riemann rearrangement theorem</a>, and states that if a series is <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_convergence" target="_blank">conditionally convergent</a>, then we can permute its terms to make it <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series" target="_blank">converge</a> to any real number, or to make it <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series" target="_blank">diverge</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
There are several concepts that play important roles here. One of them is the idea of dealing with <i>an infinite number of things</i>. It is not natural to operate with an infinite number of objects and a major problem is that we cannot directly apply an <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Algorithm" target="_blank">algorithm</a> to compute this, as one of the key things of algorithms is that they <i>must end</i>, in other words, they must have a finite number of steps. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hence, the traditional addition algorithm that we use in everyday life (or at least that our calculators use), cannot be applied directly to infinite series. Then the relevant question regarding </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=1}^\infty n$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
is not <i>how much is it?</i> but rather, <i>what is it?</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKF0aGkOZaaF9UZvPpOFRd5rBg56_5Zr94USEXHxtTYJMTkW2ng-9k8RUbQ4AkH_UqS9rgS2qEWng34D9Co3Vyga1A_WaMG_BmynPeT26ychIhv5uxOQTZpKGXzFI6Fs28GlCwr4H6wQZF/s1600/infinity.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKF0aGkOZaaF9UZvPpOFRd5rBg56_5Zr94USEXHxtTYJMTkW2ng-9k8RUbQ4AkH_UqS9rgS2qEWng34D9Co3Vyga1A_WaMG_BmynPeT26ychIhv5uxOQTZpKGXzFI6Fs28GlCwr4H6wQZF/s320/infinity.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The traditional approach for <i>computing</i> infinite series is by means of <i>sequences of partial sums</i>. This means that since we don't know what does it mean to add an infinite number of things, we approach infinity in the<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Actual_infinity#Aristotle.27s_potential.E2.80.93actual_distinction" target="_blank"> <i>potential infinity</i></a> sense, which establishes that <i>infinity is the ability of taking an increasing sequence of big numbers forever.</i> In other words, we take a big number of terms, we add them, and we assume that this result should somehow be close to the <i>value of the series.</i> Then we take a bigger amount of terms, and a bigger, and we keep doing this. Eventually, if the results obtained from the finite sums tend to cluster around a value, we say that that value is the result of the infinite series. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
It is important to remark that when we write</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=1\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
we really don't mean <i>equal</i> in the same sense we mean 1+1=2. This first equal sign really means</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\lim_{k\to\infty} s_i=1\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
where </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$ s_i=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^i}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Of course writing $\sum 1/2^n=1$ is shorter and conveys the same idea, or at least that's what lazy mathematicians think. Again, the equal sign used here should not be thought as a comparison between two objects but rather as <i>assigning</i> a value to the series. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This assignment is very intuitive and we could say is very natural to think that this is a reasonable way to approach defining the meaning of an infinite series. But this it's not the only option. Deeper questions arise when this method of partial sums don't provide an answer, as it is the example of $\sum n$. The easy way out is simply to say <i>there is no answer and the series diverges. </i>But just as it happened with the equation $x^2=-1$, mathematicians saw an opportunity to extend the theory and also assign values to series for which the partial sums method is not enough.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2hqFRqFrmUy3GVnHEflLTn-Mh6R9uFOcOcZukEZchpDj8axTdQ2Bgyh-8J6SPn3tTdsUaMeWME5prioRD7WIfShlZ4Er8pZDgYs5tuI0lq9GzkzEfMgzXG_cZlEx7aiIOJ2t2N7q-zO91/s1600/RiemannZeta.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2hqFRqFrmUy3GVnHEflLTn-Mh6R9uFOcOcZukEZchpDj8axTdQ2Bgyh-8J6SPn3tTdsUaMeWME5prioRD7WIfShlZ4Er8pZDgYs5tuI0lq9GzkzEfMgzXG_cZlEx7aiIOJ2t2N7q-zO91/s320/RiemannZeta.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
It is possible to use the idea of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Actual_infinity" style="font-style: italic;" target="_blank">actual infinity</a> instead of potential infinity in order to approach these objects. An actual infinity approach considers having <i>all</i> infinite terms at the same time, as opposed to just a never-ending source of terms. Euler and Leibniz first started to develop ideas around <i>divergent series</i> and one of their key insights was to <i>look at the meaning of a sum rather than its value</i>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
A very interesting example of this occurs with the series</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This is an alternating sum for which the traditional approach of partial sums gives no answer (the partial sums jump from 0 to 1 and back forever). But if we look a more abstract realization of the series, we can <i>make it correspond</i> to a geometric series, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=0}^\infty r^n\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This is another representation of the function $1/(1-r)$ inside the unit circle. With this we can make the conceptual assignment of $r=-1$ to this series and make the correspondence</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\mapsto \frac{1}{2}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Sometimes we abuse of the notation and we prefer to write it down as $\sum(-1)^n=1/2$, but we have to stress the fact that "=" does not represent a comparison between objects but rather a <i>correspondence</i>. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Something similar happens with the series $\sum n$. One of the most used methods involve the famous <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function" target="_blank">Riemann Zeta function</a>. This is defined as</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
for complex numbers $s$ with $\Re(s)$ bigger than 1. It is possible to <i>extend</i> the definition of the Zeta function to the entire complex plane using the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula" target="_blank">reflection formula</a>, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{\zeta(1-s)}{\zeta(s)}=\frac{2\Gamma(s)}{(2\pi)^s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Using the series representation of the Zeta function suggest the correspondence</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=1}^\infty n\mapsto\zeta(-1)\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hence, we can assign the <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=zeta(-1)" target="_blank">value</a> of </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\zeta(-1)=\zeta(2)\frac{2\Gamma(s)}{(2\pi)^s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)=-\frac{1}{12}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
to our series. Assign, not evaluate.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-2409371584726476412016-10-26T15:12:00.000-07:002016-10-26T17:08:14.971-07:00Golden ratio, Fibonacci numbers, and sums of squaresToday in my Foundations of Arithmetic class we talked a bit about the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio" target="_blank">Golden Ratio</a>. This is a nice number that appears in many places in mathematics, art, and nature!<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXyDsfYnFvSrlNMVY1kPvYnuj4e2Caqq_ppiKigQujDehWWK3O8zcRy2toIADVH3F5P91yqKruXhQLufTPK47vAW0TuxQknwGewudC-1EpHdxng_dc4e6NPmRBoZ6rAw6win47lVlbVQFI/s1600/golden-ratio-aloe.jpg.653x0_q80_crop-smart.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXyDsfYnFvSrlNMVY1kPvYnuj4e2Caqq_ppiKigQujDehWWK3O8zcRy2toIADVH3F5P91yqKruXhQLufTPK47vAW0TuxQknwGewudC-1EpHdxng_dc4e6NPmRBoZ6rAw6win47lVlbVQFI/s400/golden-ratio-aloe.jpg.653x0_q80_crop-smart.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The defining property of the Golden Ratio is a self-replicating quality of rectangles: <i>We say that a rectangle has a Golden Ratio, or that its dimensions are in a Golden Ratio if after taking away the biggest square possible, the remaining rectangle is proportional to the original one.</i> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigjq16bmCqY3TpeY__pYETuVTv0_ge-f2FakuFOCVBhy2csJ_30VRIQ9pRfISJ92-SmmPIytczlHAefoxxw1d1DFgazcTNDoldPCNbzYHVOs9VzCGYAPeGSKSmd58BSbKu_eDmX5FEqY3p/s1600/225px-SimilarGoldenRectangles.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigjq16bmCqY3TpeY__pYETuVTv0_ge-f2FakuFOCVBhy2csJ_30VRIQ9pRfISJ92-SmmPIytczlHAefoxxw1d1DFgazcTNDoldPCNbzYHVOs9VzCGYAPeGSKSmd58BSbKu_eDmX5FEqY3p/s1600/225px-SimilarGoldenRectangles.svg.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This means that a rectangle like above will satisfy this condition if</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Having this property means in particular that it is possible to carry out this trick <i>forever, </i>that is, since the leftover rectangle is similar to the original one, it is possible to take <i>another</i> square out and have a smaller leftover rectangle which is similar to the original one. Then, the process can be applied once more, and once again, indefinitely.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUYWp2xBqqyGByOABb2iZHWi1DGHwjCx9raWtuDBsIKNnVVGARAfX4nmx-Zu269ikiQtgwmBB3WX2B3UFJYBulfKKCMnY2Tk5B8aKYOQHvcZhUnrT9xKeh-EZsv1OfeicmCDp2y9l94ISQ/s1600/tumblr_musna6Oqy81qkul8wo1_500.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUYWp2xBqqyGByOABb2iZHWi1DGHwjCx9raWtuDBsIKNnVVGARAfX4nmx-Zu269ikiQtgwmBB3WX2B3UFJYBulfKKCMnY2Tk5B8aKYOQHvcZhUnrT9xKeh-EZsv1OfeicmCDp2y9l94ISQ/s320/tumblr_musna6Oqy81qkul8wo1_500.gif" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This <i>recursion</i> does not hold for other ratios. For example, if the ratio between the dimensions is rational, this process actually ends. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
For example, for a rectangle with dimensions $11\times 19$ we have that the process ends after 7 iterations</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLmVA4DVSl2vUZuHI_YBoyMc_-fdfCxChalKg5zDdq9m4Sy6NTnygCJhtNd7obijI1OWpggJNp_KHheOjQEGX51CG6_GcrFQPY25nnPKSoMWoFcN6ijES3LMlOMXyiovKmvaNBYVi9m3oV/s1600/Screen+Shot+2016-10-26+at+3.30.38+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLmVA4DVSl2vUZuHI_YBoyMc_-fdfCxChalKg5zDdq9m4Sy6NTnygCJhtNd7obijI1OWpggJNp_KHheOjQEGX51CG6_GcrFQPY25nnPKSoMWoFcN6ijES3LMlOMXyiovKmvaNBYVi9m3oV/s400/Screen+Shot+2016-10-26+at+3.30.38+PM.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
That is, after 7 times we had no leftover rectangle! The light blue $1\times 1$ leftover was a square already, so it is not possible to repeat the process. This happens because $\frac{19}{11}$ is a rational number. In the case of the golden ratio, it is an irrational number, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
so we can never finish the process, as there will always be a leftover rectangle. A nice pattern arises when performing this procedure which is surprisingly related to <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction" target="_blank">continued fractions</a></i>. For the ratio $11\times19$ we have that its simple continued fraction expansion is</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\frac{19}{11}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}}}\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
or</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{19}{11}=[1;1,2,1,2]\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Notice that there is 1 $11\times 11$ square, 1 $8\times 8$ square, 2 $3\times 3$ squares, 1 $2\times 2$ square, and 2 $1\times 1$ square, the same as the continued fraction coefficients!</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Looking at this more geometrically, the continuous fraction expansion tells a way to write down the area of the rectangle as a sum of squares, that is, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$11\times 19=209=11^2+8^2+3^2+3^2+2^2+1^2+1^2\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This is also true if the dimensions of the rectangle are <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Commensurability_(mathematics)" target="_blank">commensurable</a>, were the coefficients of the continued fraction indicates the number of times a certain square is repeated. If we have a rectangle with dimensions $p\times q$ with $p/q$ is rational. Then these squares will have dimensions that are of the type $d=np-mq$ with $n,m$ natural numbers. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In the case of a rectangle with dimensions $\phi\times 1$ this process gives</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\phi=1^2+(\phi-1)^2+(2-\phi)^2+(2\phi-3)^2+\dots\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
which, not surprisingly enough, can be written using <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number" target="_blank">Fibonacci numbers</a>, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\phi=\sum_{n=0}^\infty \left(F_n \phi-F_{n+1}\right)^2\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In general, for any real $x>1$ we can do this trick. Let the continued fraction of $x$ be given by</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$x=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots]\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
then we have that considering a rectangle with dimensions $1\times x$ gives a square decomposition</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$x=\sum_{n=0}^\infty a_0(b_n x-c_n)^2\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
which is finite if and only if $x$ is rational. An interesting problem would be to study the properties of the sequences $\{b_n\}$ and $\{c_n\}$, but I'll leave that for another time.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-45781547752048929562016-04-19T18:43:00.000-07:002016-04-19T23:08:31.926-07:00Segunda ley de termodinámica para los enterosLa entropía es una manera de medir la interacción entre lo pequeño y lo grande. Básicamente calcula el número de maneras en que se pueden obtener las mismas características macroscópicas en un sistema variando las propiedades microscópicas.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV3XGV_Q-wEqrBzjEX0V5evZ_dnpvusdmjtGsOFHdaikSJT1Qb3tQmlDa36c3zzpTYfpKAOiWSlM8m-qu-tLlg4sFalqso9ClYY0zmiiuAkeMLalOfTuijYZRshiZOg-ZMrQHLhM8gqi4H/s1600/Atomic_structure_model_of_fcc_CoCrFeMnNi.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV3XGV_Q-wEqrBzjEX0V5evZ_dnpvusdmjtGsOFHdaikSJT1Qb3tQmlDa36c3zzpTYfpKAOiWSlM8m-qu-tLlg4sFalqso9ClYY0zmiiuAkeMLalOfTuijYZRshiZOg-ZMrQHLhM8gqi4H/s320/Atomic_structure_model_of_fcc_CoCrFeMnNi.png" width="314" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
Un estado con mayor entropía es un estado altamente incierto, puesto que existen varias maneras de obtener dicho estado a partir de configuraciones y la probabilidad de obtenerlo en cierta configuración es entonces muy reducida. Sin embargo, estados con baja entropía tienen gran cantidad de información, puesto que solamente hay un número reducido de formas de obtener dicho estado, así una configuración en particular es altamente probable de ocurrir.<br />
<br />
Es posible utilizar estas ideas con los enteros positivos. Podemos pensar que los micro-estados corresponden a los factores de un número y el macro-estado al número en si. Así el número $3$ tiene solo un micro-estado: $3$, sin embargo el número $12$ tiene $4$ micro-estados: $12$, $2\times 6$, $3\times 4$, $2\times 2\times 3$.<br />
<br />
Si un macro-estado tiene $P$ diferentes micro-estados igualmente probables, la entropía asociada se define como<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$S=\ln P\,,$$</div>
<br />
de esta manera podemos decir que la entropía de $3$ es $S_3=\ln 1=0$ y $S_{12}=\ln 4\sim 1.39$.<br />
<br />
<br />
En general, podemos definir la entropía de un número como<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$S_n=\ln k\,,$$</div>
<br />
donde $k$ es el número de formas distintas de factorizar $n$. Cuando $n=p$ es un número primo tenemos que $S_p=0$. Acá se puede ver la entropía para los números del 1 al 100 y del 1 al 10,000<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5sO1QyEKJSqsWT7tQaeR0j-6Vl1FS9UK9Z7jLKygQ6sG9ByXB0nhPKbvKAlkJUabI3UTO5FMecRTX_QrB56-DpzfCO-TcD2nY3vSTkCIXQ5cuwdsUaeYSatpC4dzz0K4l673XkhUagwtw/s1600/100.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="205" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5sO1QyEKJSqsWT7tQaeR0j-6Vl1FS9UK9Z7jLKygQ6sG9ByXB0nhPKbvKAlkJUabI3UTO5FMecRTX_QrB56-DpzfCO-TcD2nY3vSTkCIXQ5cuwdsUaeYSatpC4dzz0K4l673XkhUagwtw/s320/100.png" width="320" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgteGG18-Fvn9ecJ0VEluTTXYXur9uZr-XD-xilVMhDoa92boMnpqrSpXxmGW9Use9fr0v6UeWaYSvSpLXjf0Uq6be8gPcZ2aSQuoHUoJyKGCKkMwScMbIWxmuSTyUoB-WF6ehiOg_Mh8bH/s1600/10000.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="205" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgteGG18-Fvn9ecJ0VEluTTXYXur9uZr-XD-xilVMhDoa92boMnpqrSpXxmGW9Use9fr0v6UeWaYSvSpLXjf0Uq6be8gPcZ2aSQuoHUoJyKGCKkMwScMbIWxmuSTyUoB-WF6ehiOg_Mh8bH/s320/10000.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Con esto podemos calcular el valor esperado de la entropía de un número. Para $N$ un natural, sea $m=\max S_n$ para $n\leq N$. Podemos entonces calcular el valor esperado de la entropía para los números hasta $N$ como</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\langle S \rangle_N =\sum_{k=1}^N \frac{f_k }{N}\ln k\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde $f_k$ es el la cantidad de números $n\leq N$ tales que $S_n=\ln k$. Para valores entre 1 y 100 y para valores entre 1 y 10,000 tenemos que las gráficas del valor esperado de la entropía son</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4lDyztLhGBVvlE7-rX3yZGUSq0XIoa8TjRgi1sdN5DxaoT18FYXkIgTGPKCeKyEfPsJcRu2tnbQRjG4HTg2knEvcLwzERSQnFxztf4H_hCUTggVxuEJvjD0DG7EvzzA7zhlZUFjFSZw47/s1600/e100.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4lDyztLhGBVvlE7-rX3yZGUSq0XIoa8TjRgi1sdN5DxaoT18FYXkIgTGPKCeKyEfPsJcRu2tnbQRjG4HTg2knEvcLwzERSQnFxztf4H_hCUTggVxuEJvjD0DG7EvzzA7zhlZUFjFSZw47/s320/e100.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEzxOvcFWMT-3ulA3nJ5noaWKjpra1W-JT3uPwFG7g7uiGzNJYUEtAePD3HwvKt6mTFu11BHG3W4wIV-HhqieHYmGONJ5XhM-zkMBFOm-lykR6V-WXnwTQj2iaWfdQmufnfjv-R2I7lBXm/s1600/e10000.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEzxOvcFWMT-3ulA3nJ5noaWKjpra1W-JT3uPwFG7g7uiGzNJYUEtAePD3HwvKt6mTFu11BHG3W4wIV-HhqieHYmGONJ5XhM-zkMBFOm-lykR6V-WXnwTQj2iaWfdQmufnfjv-R2I7lBXm/s320/e10000.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Al principio el valor esperado de la entropía tiende a crecer, sin embargo a partir de $N=8,000$ parece estabilizarse un poco. ¿Pudiéramos tener una segunda ley de termodinámica para los naturales?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-59686074627015465672016-03-15T00:11:00.000-07:002016-03-15T00:14:59.318-07:00Probabilities in a loaded dieA few days ago, my friend Jesse and I were talking about how he was going to use actual dice in his class to teach students about probability. He would put them to roll dice and prove that actually each face has about the same probability of coming up.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh_yDOAO7LzWRPpMs9oNgO_i_Frbs9Thc-zYE0ldOtwHeZADVwfCQFZNaIRdJdIrrfFIKD8o_ig10tjzoIie6d39Ze86AP8cFGjqGEAMob1FLX7hFGDnS1jK-CzlY861IrtEudq5j9fBpJ/s1600/crapsdiceroll.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh_yDOAO7LzWRPpMs9oNgO_i_Frbs9Thc-zYE0ldOtwHeZADVwfCQFZNaIRdJdIrrfFIKD8o_ig10tjzoIie6d39Ze86AP8cFGjqGEAMob1FLX7hFGDnS1jK-CzlY861IrtEudq5j9fBpJ/s320/crapsdiceroll.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
He told me later that he looked online for <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dice#Loaded_dice" target="_blank">loaded dice</a>, that is, dice that would favor some of the faces and not have a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_distribution_(discrete)" target="_blank">uniform distribution</a>. After a while, we thought it would be a nice problem to <i>design</i> a loaded die and to somehow calculate the theoretical probabilities for each face. This is a rather complex problem, so I started to think on reasonable simplifications to get something sound.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The main idea is to load a die by changing the center of mass of it. This would definitely impact the chances of getting a particular face. Usually we get that a regular die has a probability of $1/6$ of displaying a given face based on symmetry arguments. But when talking about a loaded die things get loaded.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgxUkdP_3EXXvQaHjJhC2vYy-VVpRXTgTtzQZ3wYnQLoMXySOPuNfxkrzRT4ZKj27ZnRWx-WKV7mjMl7b4K4f0AfIm-fYDODBLCtMqc_DtrIiuBkouTc5AqqskMTJhn0Vy68HGIqtVd-YP/s1600/temp.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgxUkdP_3EXXvQaHjJhC2vYy-VVpRXTgTtzQZ3wYnQLoMXySOPuNfxkrzRT4ZKj27ZnRWx-WKV7mjMl7b4K4f0AfIm-fYDODBLCtMqc_DtrIiuBkouTc5AqqskMTJhn0Vy68HGIqtVd-YP/s320/temp.png" width="308" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Instead of considering a 3D die, I tried to analyze the 2D case, by considering a unit square with uniform <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Density" target="_blank">mass density</a> $\sigma$ and with a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Point_particle#Point_mass" target="_blank">point mass </a>$\mu$ at a point $(a,b)$. This will make the square to have its center of mass at</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\left(\frac{a \mu +\frac{\sigma }{2}}{\mu +\sigma },\frac{b \mu +\frac{\sigma }{2}}{\mu +\sigma }\right)\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
and not at the center of the square. With this, the symmetries of the square are broken and a new description of its behavior has to be made. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In order to figure out the probabilities, first we have to define what do we mean by the probability of getting a specific face. One way of doing this is by considering the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Frequentist_probability" target="_blank">frequentists</a> point of view of the system: <i>lets roll the die many times and calculate the probabilities as relative frequencies of the outcomes. </i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Being this a <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/A_priori_and_a_posteriori" target="_blank">a posteriori</a> </i>point of view, analyzing the physics of such situation becomes the best approach. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
We want to have the square freely rotating, landing on a flat line, and then recording which face comes up. In order to do this, we have to prescribe an angular velocity of the rotating square, the landing vertex, and the incidence angle. We can simplify the model by just considering the picture when the die lands on the line, forgetting about its spinning past. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiLfF5X78DwdjaYN9vjrrXICLERxIvTpsE3cZOSxt-5FxKx4yoA02LCQ66gAzNm8lIkleRvSHGE3rAC4WDWOcUbZJ1Ohkags83_Jt9FBhyCvoug9lJVHo8Kd-yOicYokE0HbhhQmampoer/s1600/tiltedsquares.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiLfF5X78DwdjaYN9vjrrXICLERxIvTpsE3cZOSxt-5FxKx4yoA02LCQ66gAzNm8lIkleRvSHGE3rAC4WDWOcUbZJ1Ohkags83_Jt9FBhyCvoug9lJVHo8Kd-yOicYokE0HbhhQmampoer/s1600/tiltedsquares.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The argument is that by ignoring air resistance, friction, and everything else a good physicist will ignore, the landing angular velocity the square will land with is just a scalar multiple of its original velocity in the air (using conservation of momentum). So a good toy model is starting with a vertex fixed on the line, with an initial angle $\theta_0$ and an initial angular velocity $\omega_0$. Using <a href="http://physics.bu.edu/~redner/211-sp06/class13/class14_newton2.html" target="_blank">Newton's second law</a>, we have that the sum of all <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Torque" target="_blank">torques</a> is equal to the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia" target="_blank">moment of inertia</a> times the angular acceleration of the square. That is</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$I\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}=\sum \tau\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
were the moment of inertia for the square in this configuration is given by </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$I=\frac{\sigma}{3}+\mu(a^2+b^2)\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
and where we only have one torque acting on the square due to gravity. Putting these together, we have that the system is described by the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" target="_blank">ODE</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}=-\frac{g || r ||}{I}\cos\left(\theta(t)+\delta\right)\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
with initial conditions $\theta(0)=\theta_0$ and $\theta'(0)=\omega_0$, and where $g$ is gravity, $r$ the position of the center of mass of the square, and $\delta$ its argument. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXnG_6v-iDD2fBIJqFz82EBHQzm8BSa_eo0ygqIe0FowYxW_3CZUvzYehbcTFSjvbs-_EftgfjE-u3MaeDpUm_lS83uXJcxigBZhYQofbVsDD1DlR_Gl9ZPCMTj7nr4sUvCfhHvwjPtWPu/s1600/Screen+Shot+2016-03-14+at+1.20.12+AM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXnG_6v-iDD2fBIJqFz82EBHQzm8BSa_eo0ygqIe0FowYxW_3CZUvzYehbcTFSjvbs-_EftgfjE-u3MaeDpUm_lS83uXJcxigBZhYQofbVsDD1DlR_Gl9ZPCMTj7nr4sUvCfhHvwjPtWPu/s320/Screen+Shot+2016-03-14+at+1.20.12+AM.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This is a<a href="http://math.stackexchange.com/questions/414597/linear-vs-nonlinear-differential-equation" target="_blank"> nonlinear differential equation</a> which can be numerically solved in mathematica. Solving this equation gives us the rotation angle of the square in time. If the angle reaches $\pi/2$, it means that it completely tilted over the next face, and we would have to make the same analysis again but now with new initial conditions $\Theta(0)=0$ and $\omega(0)=\kappa \theta'(T)$, where $T$ is the time that took the previous face to completely reach the next one and $\kappa$ is a constant describing the energy loss the square experiences when landing on the next face.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
We can keep this process as long as the equation </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\theta(T)=\frac{\pi}{2}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
has positive real solutions and the number of times this procedure is carries over will tell us on which face the square is going to stop rolling. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This approach is completely deterministic, as given any pair of initial conditions $(\theta_0,\omega_0)$, we can calculate on which face the square is going to stop rolling. In order to introduce probabilities, we can asume a probability distribution on the initial angles and the initial velocities. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
It is reasonable to pick a uniform distribution of the incidence angles $\theta_0$, so I choose a uniform probability distribution on $(0,\pi/2)$. As for the initial velocities, the argument relies on the system being cyclic. It is true that all angular velocities are not equally probable, as when someone grabs an actual die the angular velocities would have a distribution centered towards a preferred value, but when considering the problem only from the landing perspective, what really matters is that the system presents an almost periodic behavior on the initial velocity. So we can take a uniform distribution on $(0,\omega_{\text{max}})\,.$ We also have to take into account that the die could rol clockwise or anti-clockwise with uniform probability. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Taking these assumptions into account would make the final probability not to depend on <i>how</i> we roll the die, that is, we are making it up for the lack of the symmetry the system has.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Finally we have to account for the probability of the die landing on a particular vertex. In order to calculate this, we can think that the probability of it landing on a given vertex is proportional to the time this vertex is the closest one to the landing line, while the die is rotating in the air. We can use the <a href="http://www.solitaryroad.com/c375.html" target="_blank">moments of mass</a> about the face, and then calculate the probability of a vertex to be the average of its adjacent faces. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Performing some numerical simulations, we get the following probabilities ($\sigma=1, \mu=100$)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse; text-align: left; width: 325px;">
<!--StartFragment-->
<colgroup><col span="5" style="width: 65pt;" width="65"></col>
</colgroup><tbody>
<tr height="15" style="height: 15.0pt;">
<td class="xl63" height="15" style="height: 15.0pt; width: 65pt;" width="65">(a,b)</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; text-align: right; width: 65pt;" width="65">0</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; text-align: right; width: 65pt;" width="65">1</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; text-align: right; width: 65pt;" width="65">2</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; text-align: right; width: 65pt;" width="65">3</td>
</tr>
<tr height="15" style="height: 15.0pt;">
<td class="xl63" height="15" style="border-top: none; height: 15.0pt;">(0.5,0)</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.268748</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.34257</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.0461125</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.34257</td>
</tr>
<tr height="15" style="height: 15.0pt;">
<td class="xl63" height="15" style="border-top: none; height: 15.0pt;">(0.1,0.1)</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.468528</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.468551</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.031472</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.0314486</td>
</tr>
<tr height="15" style="height: 15.0pt;">
<td class="xl63" height="15" style="border-top: none; height: 15.0pt;">(0.5,0.5)</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.25</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.25</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.25</td>
<td class="xl63" style="border-left-style: none; border-top-style: none; text-align: right;">0.25</td>
</tr>
<!--EndFragment-->
</tbody></table>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
and here is the code I used in Mathematica (the last function gives a the probability vector {0,1,2,3}):</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">T[{a_, b_}] = {1 - b, a};</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">INC[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, c_] := \[Sigma]/</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 3 + \[Mu] Norm[Nest[T, {a, b}, c]]^2;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Sol[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, \[Omega]0_, \[Theta]0_, c_] := </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> NDSolve[{\[Theta]''[</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> t] == -((9.8 Norm[CM[Nest[T, {a, b}, c], \[Mu], \[Sigma]]])/</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> INC[a, b, \[Mu], \[Sigma], c])</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Cos[\[Theta][t] + </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> ArcTan[Nest[T, {a, b}, c][[2]]/</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Nest[T, {a, b}, c][[1]]]], \[Theta][</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 0] == \[Theta]0, \[Theta]'[0] == \[Omega]0}, \[Theta][t], {t, 0,</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 100}];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Rol[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, W_, A_, c_] := Module[{w, Flag, n, X},</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> X = Sol[a, b, \[Mu], \[Sigma], W, A, c];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> w = (0.9) ((D[(\[Theta][t] /. X), </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> t]) /. (NSolve[(\[Theta][t] /. X) == \[Pi]/2, t]))[[1]][[1]];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Flag = NumericQ[w] && Positive[w];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> n = c;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> While[Flag, </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> n++;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> X = Sol[a, b, \[Mu], \[Sigma], w, 0, n];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> w = (((D[(\[Theta][t] /. X), </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> t]) /. (NSolve[(\[Theta][t] /. X) == \[Pi]/2, t]))[[1]][[</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 1]]) (0.9);</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Flag = NumericQ[w] && Positive[w];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> ];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> n</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> ]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Fr[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, \[Theta]0_, c_] := </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Table[Mod[Rol[a, b, \[Mu], \[Sigma], w, \[Theta]0, c], 4], {w, 0, 1, </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 0.01}]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Pr[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, \[Theta]0_, c_] := Module[{temp},</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> temp = Fr[a, b, \[Mu], \[Sigma], \[Theta]0, c];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> {Count[temp, 0]/Length[temp], Count[temp, 1]/Length[temp], </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Count[temp, 2]/Length[temp], Count[temp, 3]/Length[temp]}</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> ]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Pro[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, c_] := Module[{temp},</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> temp = Table[</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Pr[a, b, \[Mu], \[Sigma], \[Pi]/2 (i), c], {i, 0, 1, 0.1}];</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> Total[temp]/Length[temp]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> ]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">M0[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] b + \[Sigma]/2)/(</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">M1[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] a + \[Sigma]/2)/(</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">M2[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] (1 - b) + \[Sigma]/2)/(</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">M3[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] (1 - a) + \[Sigma]/2)/(</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">C0[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> M0[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M1[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">C1[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> M1[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M2[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">C2[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> M2[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M3[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">C3[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> M3[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M0[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Prob[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] := (1/</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2) (C0[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 0] + </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> C1[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 1] + </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> C2[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 2] + </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> C3[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 3]) + (1/</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2) (C0[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma], </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 0] + C1[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> b, \[Mu], \[Sigma], 1] + </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> C2[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma], </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> 2] + C3[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, </span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"> b, \[Mu], \[Sigma], 3])[[{1, 4, 3, 2}]]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Prob[a, b, \[Mu], \[Sigma]]</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-42014909094460577782016-02-06T12:54:00.001-08:002016-02-06T19:44:39.699-08:00Integrales complejas y sumas divergentes<div style="text-align: justify;">
Como parte de mi investigación he estado estudiando formas de regularizar ciertas <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergente" target="_blank">series que a primera vista resultan divergentes</a>. Para esto se han desarrollado muchas técnicas de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Regularizaci%C3%B3n_(f%C3%ADsica)" target="_blank">regularización</a> y yo me he enfocado en utilizar <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta" target="_blank">funciones zeta</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.ma.utexas.edu/users/pmorales/#gallery" target="_blank"><img border="0" height="319" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjtjeHVW27yV1rMd_Caf2vLyS9R9r7GEiclUkNwybmDyVbgTGe-a0I7dPkwdgQoAIYL17bW5p8N5_af4mMZxEXSQsUVvRb8Ul3eFrPegvXhaTnffonlWRWkAnVjTBPPwU67-kLM1Kcw3N6/s320/image14.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Actualmente estoy estudiando un problema relacionado con sumas de <a href="http://arxiv.org/abs/1205.0037" target="_blank">Tornheim-Mordell</a> y comencé a utilizar técnicas de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejo" target="_blank">análisis complejo</a> para resolver el problema. Básicamente las herramientas más poderosas se basan en el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_residuos" target="_blank">Teorema del Residuo</a> y sus muchas versiones. Un pariente cercano de este resultado es la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Mellin" target="_blank">Transformada de Mellin</a>, la cual resulta ser una <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier" target="_blank">Transformada de Fourier</a> disfrazada. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhyphenhyphenCZz7ZSjvrV5NGyngV6iRkNfIfYp4Xf10UxxlQYaVMxXI-zXMTSwULzFLhcRUV-MQHIposF2-E5Ke1G4vE3NufLWl2Q8XdzlYAoRfSSbAAevRjPo65Fh14AQTJ36w3b0axuGbictzfI1/s1600/ContourIntegral_1000.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhyphenhyphenCZz7ZSjvrV5NGyngV6iRkNfIfYp4Xf10UxxlQYaVMxXI-zXMTSwULzFLhcRUV-MQHIposF2-E5Ke1G4vE3NufLWl2Q8XdzlYAoRfSSbAAevRjPo65Fh14AQTJ36w3b0axuGbictzfI1/s1600/ContourIntegral_1000.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
En términos simplistas, lo que dicen estos resultados es que es posible evaluar una <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea#Integraci.C3.B3n_compleja" target="_blank">integral de contorno</a> por medio de ver los residuos que quedan encerrados. Desde un punto de vista más físico, es el equivalente al <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss" target="_blank">Teorema de Gauss</a>. Esta interpretación física resulta muy interesante, pues da una intuición de qué cosas esperar. Por ejemplo, resulta natural esperar que exista algún tipo de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conservaci%C3%B3n_de_la_energ%C3%ADa" target="_blank">conservación de energía</a> o <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica#Principio_de_conservaci.C3.B3n_de_la_carga" target="_blank">carga eléctrica</a>. En el caso de funciones de variable compleja, tomando en cuenta algunas consideraciones, es posible tener esta conservación. En el plano complejo, esta conservación se traduce en que la <i>suma de los residuos de la función suman cero,</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{a\in\text{Polos simples}} \text{Res}(f(z),a)=0\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Sin embargo, en funciones sencillas como $f(z)=1/z$ parece que esto no aplica. Esta aparente falla se debe a que estamos olvidándonos de lo que sucede en $z=\infty$. Las funciones también pueden tener un <a href="https://books.google.com/books?id=q_6ASC9O75IC&pg=PA232&lpg=PA232&dq=residuo+en+infinito&source=bl&ots=UgUQuejuOf&sig=PFrziXZYobUsi5HBf06V5aQ9QQA&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjq9umw9OPKAhWB7SYKHTb-ANkQ6AEILDAC#v=onepage&q=residuo%20en%20infinito&f=false" target="_blank">residuo en infinito</a>, y en este caso el residuo resulta ser</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\text{Res} (f(z),\infty)=\text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}f(1/z),0\right)=\text{Res}\left(-\frac{z}{z^2},0\right)=-1\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Con esta idea en mente, es posible estudiar lo que ocurre con funciones más interesantes. Por ejemplo, consideremos la función </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$f(z)=\pi \csc(\pi z)\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Esta tiene polos simples para $z=n,n\in\mathbb{Z}$ con residuos</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\text{Res }(\pi \csc(\pi z),n)=(-1)^n\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Al tratar de calcular el residuo en infinito, tenemos que da $\pm\infty$, lo que intuitivamente querría decir que tenemos un polo de mayor orden en infinito. Por lo tanto, podemos hacernos un poco los locos y decir que</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\text{Res }(\pi \csc(\pi z),\infty)=0.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFEhKC-gSWUou1otW9-7jxZFncLV0oXYc4X4B-IWZVP7i5mvbrMCBGSJc7fv2aKnd1QSV6TA4VFsEfTSHVSQgx5bE5hMSOSwqRiPkzMGj-CiyFFT6rs72xBE_lduH5sWAw1i8LuW2m21CB/s1600/Untitled__.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFEhKC-gSWUou1otW9-7jxZFncLV0oXYc4X4B-IWZVP7i5mvbrMCBGSJc7fv2aKnd1QSV6TA4VFsEfTSHVSQgx5bE5hMSOSwqRiPkzMGj-CiyFFT6rs72xBE_lduH5sWAw1i8LuW2m21CB/s320/Untitled__.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Si calculamos la integral de $f(z)$ a lo largo de una recta vertical, podemos pensar que estamos calculando la integral cerrada que pasa por infinito del semiplano izquierdo. (El contorno $L$ encerraría el semiplano izquierdo dada la convención de que el interior de una región siempre queda a la izquierda de la dirección en que se recorre el borde, es decir, la dirección anti-horaria es positiva). Como $f(z)$ no tiene residuo en infinito, podemos esperar que la integral sobre $L$ será finita siempre y cuando $L$ no pase por ninguno de los polos finitos $z=n$. Por ejemplo tomemos $L$ como la recta vertical $\Re(z)=1/3$. Entonces</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)dz=\frac{1}{2\pi i}\int _L \pi \csc(\pi z)dz=\frac{1}{2}\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde la integral puede <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F(2+pi+i))integral+pi+csc(pi+(1%2F3%2Bi+s))+i+ds,+-infinity,+infinity" target="_blank">facilmente calcularse.</a> Ahora podemos hacer uso de la interpretación anterior y pensar que la integral en realidad puede calcularse sumando los residuos encerrados <i>dentro </i>de la región determinada por $L$, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^{-n}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n=\frac{1}{2}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
La serie de la izquierda se conoce como la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Grandi" target="_blank">Serie de Grandi</a> y ¡claramente es divergente! Una forma sencilla de verlo es el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_Leibniz" target="_blank">criterio de Leibniz</a>, sin embargo al regularizar esta suma por diversos métodos se obtiene el resultado de $1/2$. Leibniz estudió esta serie y fue el primero en introducir cierto rigor en su cálculo. Fue duramente criticado, sin embargo Euler lo apoyó y fue así que comenzó el estudio se series divergente. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Podemos decir que la divergencia de la serie de Grandi se refleja en el hecho de que $f(z)$ tiene un polo en infinito, sin embargo al ser un polo de orden mayor, aún resulta posible obtener un <i>valor</i> regularizado para la serie, no en el sentido usual de convergencia, sino en un sentido más profundo.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-26738847412164761892016-01-24T12:43:00.001-08:002016-01-24T12:43:54.226-08:00Last digits of powers: Mersenne primes and perfect numbersRecently, a new <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime" target="_blank">Mersenne prime</a> has been <a href="http://www.nytimes.com/2016/01/22/science/new-biggest-prime-number-mersenne-primes.html?_r=0" target="_blank">discovered</a>. In the highly technological world of today, prime numbers play a, well, prime role.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz9K4m6HqN2ZIIzPUqBMzDmtsG6B4S53UwswWKZzLLqbFbctV24kjiPnl0vbbkPjP95zNLGgyn4jcyN8PXjZC1yLMShCGjW2SVAv0kcwySNsHQGFIRJ4UAsQaZpfrWDM235I_7CFl77g1D/s1600/412ed8ef5f733b1bfb18829c775611db.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz9K4m6HqN2ZIIzPUqBMzDmtsG6B4S53UwswWKZzLLqbFbctV24kjiPnl0vbbkPjP95zNLGgyn4jcyN8PXjZC1yLMShCGjW2SVAv0kcwySNsHQGFIRJ4UAsQaZpfrWDM235I_7CFl77g1D/s320/412ed8ef5f733b1bfb18829c775611db.jpg" width="255" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The search for bigger and bigger primes has been a subject of interest in recent years, mainly due to the increasing computational power that we have achieved, and, oh yes, for the <a href="https://www.eff.org/awards/coop" target="_blank">money</a>. One of these big efforts to discover bigger and bigger primes is <a href="http://www.mersenne.org/" target="_blank">GIMPS</a>, an online collaborative search for prime numbers.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWp9B_L8We4XiV9lcVdckZvjputUGHEup-oAoRxemzphHnmMAgVHXsNlnoyVHcQeHviYJcWiiOBqpUweTek9kvG-43L5Arw9tosW7zKK-snFCf6HV7TXqp-3mproMDuMK73ZsIB-9tqyv_/s1600/distributed-computing.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWp9B_L8We4XiV9lcVdckZvjputUGHEup-oAoRxemzphHnmMAgVHXsNlnoyVHcQeHviYJcWiiOBqpUweTek9kvG-43L5Arw9tosW7zKK-snFCf6HV7TXqp-3mproMDuMK73ZsIB-9tqyv_/s320/distributed-computing.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The newest prime found has the form</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$p_{49}=2^{74207281}-1$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In particular Mersenne primes are well suited to be found by computers, as computing powers of 2 results in an easy task (just <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_shift" target="_blank">left shift</a>). </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The first question one would ask is, <i>how big is this number anyway? </i>This is an easy question to solve. In order to find out how many digits does $p_{49}$ have, we only have to find its <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Common_logarithm" target="_blank">logarithm base 10</a>. This will give the exponent $e$ such that</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$10^e=p_{49},$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
which gives the number of digits $p_{49}$ has by <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions" target="_blank">calculating</a> $\lceil e \rceil$. This gives</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\lceil e \rceil=\lceil \log 2^{74207281}-1\rceil =\lceil \log 2^{74207281}\rceil=\lceil 74207281 \log 2\rceil=22338618\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
where the second equality is true since $2^{74207281}$ is not a number of the form $999\dots 9$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The second question that could pop into our minds is, <i>what is the last digit of this number?</i> or even more, <i>what are the last m digits of this number?</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In order to solve this, we can use two important results in <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic" target="_blank">modular arithmetic</a>: the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem" target="_blank">Chinese Remainder Theorem</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem" target="_blank">Euler's Theorem</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The idea is that we do not need to calculate the whole number to find some of its digits. The relevance of Euler's theorem is that estates that powers leave cyclic remainders when divided by a number. It gives a way to calculate this period. For example, to find the last $m$ digits of, say, $2^k$, really what we are asking is for the remainder that $2^k$ leaves when divided by $10^m$, that is</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$2^k\equiv d \text{ mod } 10^m\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
where $d$ gives the last $m$ digits when taken to be in the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Residue_systems" target="_blank">least residue system</a>. It is easier to analyze this congruence if we write $10^m=2^m\cdot 5^m$. Thus the problem translates to</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$2^k\equiv d_1 \text{ mod } 2^m\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$2^k\equiv d_2 \text{ mod } 5^m\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
We transformed a single congruence in a system of congruences, which at first sight may seem more complicated, but in fact, it is easier to handle. The first congruence is rather straightforward. If $k>m$ we have that $d_1\equiv 0$. For the second one, we can use the magic of Euler's theorem, since $gcd(2,5^m)=1$ we have that </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$2^{\phi(5^m)}\equiv 1 \text{ mod }5^m\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
that is, the period for the powers of $2$ modulo $5^m$ is given by <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function" target="_blank">Euler's totient</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\phi(5^m)=(5-1)5^{m-1}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This means that to find out $d_2$, we can reduce the exponent $k$ and only consider its residue modulo $\phi(5^m)$. If </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$k\equiv e\text{ mod }\phi(5^m)\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
then we have that </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$2^k\equiv 2^e\text{ mod } 5^m\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The advantage of this is that instead of calculating the powers with $k$ as the exponent (a huge number), we only need to calculate a power $e$ that is smaller than $4\cdot 5^{m-1}$, which might be much smaller than $k$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Then, using the Chinese Remainder we get that</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$d\equiv 2^e2^m 2^{4\cdot 5^m-m}\equiv 2^e2^{4\cdot 5^m}\text {mod }10^m\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This helps us to calculate the last, for example, 3 digits of $p_{49}$ as 352-1=351. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Another interesting calculation that can be made has to do with <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number" target="_blank">perfect numbers</a>. It is not known a general formula for perfect numbers, but we know that every Mersenne prime creates a perfect number.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$P=2^{k-1}(2^k-1)$$ </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<span id="goog_1309536501"></span><span id="goog_1309536502"></span>gives a perfect number if $2^k-1$ is prime. Hence there is an associated perfect number with $p_{49}$ given by<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$2^{74207280}(2^{74207281}-1)\,.$$</div>
<br />
Similarly, we can calculate that it is 44,677,235 digits long and its last 3 digits are 776. And the best part, we don't have to know the other 44, 677,232 digits!<br />
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-42572534812074844182015-11-29T20:37:00.000-08:002015-11-29T20:37:11.667-08:00¿Cómo se oye el cubo de Rubik?Hace algunos días encontré una charla TED-Ed muy interesante sobre como relacionar al cubo de Rubik con la música.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/FW2Hvs5WaRY/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/FW2Hvs5WaRY?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
<br />
Describe un poco la matemática detrás de la resolución del cubo de Rubik presentando los conceptos de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" target="_blank">grupo</a>, <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n" target="_blank">permutaciones</a>, y de como esta estructura matemática puede recibir una interpretación musical.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://latuafottuta.files.wordpress.com/2012/01/musica.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="277" src="https://latuafottuta.files.wordpress.com/2012/01/musica.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
Ciertas técnicas en <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_musical" target="_blank">teoría musical</a> son precisamente transformaciones realizadas por elementos de un grupo, lo que en matemática se conoce como una <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" target="_blank">acción</a>. Con esta idea se puede poner en práctica lo sugerido por el video y establecer una acción sobre las notas musicales como melodía y acordes para general una <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_de_grupo" target="_blank">representación</a> auditiva de la resolución de un cubo de Rubik.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgm60TiNWlYVvGRO1DX3gYaeRatQcvxsrwyQ6drYFMgf42eGoxx1aG6DNNqA6Z_I33xHa-6trbcqZvn_Qg3MLMma5r9iAS51pIm2s5Zdt3WgH8ZIDIXiUDVymq18IIEaeZXYLURB4o0ViJh/s1600/Screen+Shot+2015-11-29+at+4.48.29+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgm60TiNWlYVvGRO1DX3gYaeRatQcvxsrwyQ6drYFMgf42eGoxx1aG6DNNqA6Z_I33xHa-6trbcqZvn_Qg3MLMma5r9iAS51pIm2s5Zdt3WgH8ZIDIXiUDVymq18IIEaeZXYLURB4o0ViJh/s320/Screen+Shot+2015-11-29+at+4.48.29+PM.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Para esto podemos comenzar con una configuración del cubo de Rubik como la de la figura. Primero establecemos una forma de codificar las notas musicales con colores</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIwNWGwpYwWzj_jOyM5A2tcFUW5VnlBcuCV-DjEPGEi0T7uHQo8Qd3l9O8v_6K42lAobTzvUdgmIIJKnXt-SLGYRUJMl6nq4Pcar48NPsgF0IVqtbghzPZNLhPNsZy4jjr4EaHitLc1vAZ/s1600/Screen+Shot+2015-11-29+at+7.21.18+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIwNWGwpYwWzj_jOyM5A2tcFUW5VnlBcuCV-DjEPGEi0T7uHQo8Qd3l9O8v_6K42lAobTzvUdgmIIJKnXt-SLGYRUJMl6nq4Pcar48NPsgF0IVqtbghzPZNLhPNsZy4jjr4EaHitLc1vAZ/s1600/Screen+Shot+2015-11-29+at+7.21.18+PM.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
La acción del grupo de permutaciones del cubo sobre las notas musicales está dada por:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li>En la cara superior, cada color representa una nota en la melodía en corcheas, comenzando en la esquina verde y en la dirección usual de lectura, izquierda a derecha, arriba a abajo.</li>
<li>En la cara superior, cada color en las esquinas representa una nota que determina un acorde en la armonía.</li>
</ul>
<div>
Con esto, cada paso para resolver el cubo transforma las caras y por lo tanto define una nueva configuración de melodía y armonía. Así, siguiendo esta configuración inicial se obtienen 58 compases con los 58 pasos para resolver el cubo. La resolución paso a paso del cubo puede seguirse <a href="http://rubiks-cube-solver.com/solution.php?cube=0244416361132126214623333556455144346113652531624565522&x=1" target="_blank">acá</a>.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
El resultado es este:<br />
<br /></div>
<div>
<iframe frameborder="no" height="300" scrolling="no" src="https://w.soundcloud.com/player/?url=https%3A//api.soundcloud.com/tracks/235347110&auto_play=false&hide_related=false&show_comments=true&show_user=true&show_reposts=false&visual=true" width="100%"></iframe>
</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Es posible variar la acción para añadir más melodía y armonía empleando todas las caras del cubo en vez de centrarse solo en una, pero eso será para otra ocasión.</div>
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-90385327999351034832015-11-03T15:01:00.000-08:002015-11-03T17:29:06.712-08:00An infinity between countable and uncountableIn my discrete math class we are talking about <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" target="_blank">functions</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality" target="_blank">cardinalities</a>.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5YFv8z0y__dBD5dCxSz2Dy07iNOw5PFHN4WT-qcWaJEGvUn9qUoVWd_zDWr7O6EaZPan_9pl5lTP6BZ-Zx8bajZkVQk_xTyL0tGHcYB67c9NwncHxOafcp3_WFU6jwG0-1qnW5Pis7bSt/s1600/0f1b9c0bed3382007b5b62fb6eccdeee.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5YFv8z0y__dBD5dCxSz2Dy07iNOw5PFHN4WT-qcWaJEGvUn9qUoVWd_zDWr7O6EaZPan_9pl5lTP6BZ-Zx8bajZkVQk_xTyL0tGHcYB67c9NwncHxOafcp3_WFU6jwG0-1qnW5Pis7bSt/s320/0f1b9c0bed3382007b5b62fb6eccdeee.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
On of the outstanding results of formalizing set theory is the fact that there are <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum" target="_blank">different types of infinities</a>, that is, there is something bigger than infinity, or at least bigger than the <a href="http://mathworld.wolfram.com/CountablyInfinite.html" target="_blank"><i>usual</i> <i>infinity</i> </a>that we think about. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
One way of dealing with these infinities is by using <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number" target="_blank">cardinal</a> numbers. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
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<br /></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoCnNtiU4nCf1cXmykc2_cyWGZji4FKBM_mfqZcPz6DxqiAW2iC8DK9QoB6W5TEvVACDxEHQuV5kwpMWuYCYWsJoGWdsKWSZe03_D7LGNKHjXvO4FyeXGEZXiFKsO-L2F2yziXRn5vwAfV/s1600/400px-Bijection.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoCnNtiU4nCf1cXmykc2_cyWGZji4FKBM_mfqZcPz6DxqiAW2iC8DK9QoB6W5TEvVACDxEHQuV5kwpMWuYCYWsJoGWdsKWSZe03_D7LGNKHjXvO4FyeXGEZXiFKsO-L2F2yziXRn5vwAfV/s320/400px-Bijection.svg.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
These have arithmetic properties, that is, we can add, multiply, and even exponentiate. However, the way of understanding these operations resort in <a href="https://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ap-b-card.pdf" target="_blank">set theoretical definitions</a>. For example, adding two cardinals amounts to make the union of two disjoint sets, to multiply is to do the cartesian product, and exponentiation is related to finding all the functions from one set into the another. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Since these operations are well behaved, that is, they satisfy the usual commutativity, associativity, and distributivity properties, we could think of mimicking the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number#Formal_construction" target="_blank">construction of rational numbers</a> using cardinals.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Let $\mathcal{N}$ be the set of cardinals smaller than a given cardinal $\mathfrak{w}\geq 1$ and consider the equivalence relation $\sim$ on $\mathcal{N}\times\mathcal{N}$ given by:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$(\mathfrak{a},\mathfrak{b})\sim(\mathfrak{c},\mathfrak{d}) \text{ iff } \mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}=\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
We need to only consider the cardinals smaller than a given one since we <a href="http://math.stackexchange.com/questions/305606/does-there-exist-a-set-of-all-cardinals" target="_blank">cannot</a> construct the set of all cardinals. Thus, with this, let $\mathcal{Q}=\mathcal{N}\times\mathcal{N}/\sim$ and define $+,\cdot$ as</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]+[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]=[(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}+\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c},\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{d})]$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]\cdot[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]=[(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{c},\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{d})]\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
These are well defined, and $[(1,1)]$ and $[(0,1)]$ serve as the multiplicative and additive identities respectively. Thus $\mathcal{Q}$ is a (commutative) <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)" target="_blank">ring</a>. The order provided on the cardinals gets lifted to the quotient:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]\leq[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]\text{ iff } \mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}\leq\mathfrak{c}\cdot\mathfrak{b}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Thus, we can also abstract the construction of the real numbers using <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut" target="_blank">Dedekind cuts</a> using these cardinal rationals. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJRn71jnpqApQG-yoRkVeG-u8wkEjC5ACDVFnEkClVMD1T-EIskmzgg-xaUKmCIQtg7e3qir7enHP3CCkePxgzcT5aTQArzN1cjlRhtJSUGGaCf-MJhj0yX36FwQ_CbAts7IJciZn9xC2x/s1600/300px-Cuts.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJRn71jnpqApQG-yoRkVeG-u8wkEjC5ACDVFnEkClVMD1T-EIskmzgg-xaUKmCIQtg7e3qir7enHP3CCkePxgzcT5aTQArzN1cjlRhtJSUGGaCf-MJhj0yX36FwQ_CbAts7IJciZn9xC2x/s1600/300px-Cuts.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Consider Dedekind type cuts of $\mathcal{Q}$, that is, a partition $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}=\mathcal{Q}$ such that </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\forall\mathfrak{a}\in A\text{ and } \forall\mathfrak{b}\in\mathcal{B},\mathfrak{a}<\mathfrak{b}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
By considering all possible Dedekin type cuts, we can form a new set that behaves like the real numbers, in the sense that it becomes <a href="http://mathworld.wolfram.com/TotallyOrderedSet.html" target="_blank">totally ordered</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers" target="_blank">complete</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This suggests that we could do some sort of infinite calculus, with limits and derivatives, which would be nice.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjicCtJ2D9JRtRMSV-iIE7tyLBHQ2_B6iZoyu0Y7z49SX8FabVBKT8y3E2vvSJZw8Aarw8UCClpFRRzQdC7Gx0lCp5K4UOL0SoiOqOGM3ihAADu4cFq-AebE898Jsn3QL-5TQYB0OeRRfdH/s1600/as-x-approaches-infinity.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjicCtJ2D9JRtRMSV-iIE7tyLBHQ2_B6iZoyu0Y7z49SX8FabVBKT8y3E2vvSJZw8Aarw8UCClpFRRzQdC7Gx0lCp5K4UOL0SoiOqOGM3ihAADu4cFq-AebE898Jsn3QL-5TQYB0OeRRfdH/s320/as-x-approaches-infinity.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
PS: The relation $\sim$ defined above is not an <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation" target="_blank">equivalence relation</a> (it fails to be <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_relation" target="_blank">transitive</a>) and hence making the construction not to be a partition of $\mathcal{N}\times\mathcal{N}$, so a good way to make the construction work is by defining a better $\sim$ that makes this posible. If you can find it, maybe we can <i>truly</i> have infinities that behave like the real numbers. </div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-78114409231865947232015-10-22T21:01:00.000-07:002015-10-22T22:08:41.406-07:00¿Le creemos a las encuestas? FCN 56%, UNE 29%Después de haber obtenido una muy <a href="http://towardsthelimitedge.blogspot.com/2015/09/con-matematicas-no-hay-sorpresas.html" target="_blank">buena proyección</a> para la primera vuelta de las elecciones presidenciales en Guatemala, decidí realizar una última proyección para el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Segunda_vuelta_electoral" target="_blank">balotaje</a> del 25 de octubre.<br />
<br />
Generalmente las encuestas generan desconfianza y escepticismo. Se piensa que son manipuladas para favorecen alguien en particular y presentar una realidad ficticia. En nuestras sociedades, lastimosamente, eso puede no estar muy alejado de la realidad, sin embargo, desde el punto de vista frío de los números, es posible entender el fenómeno de las encuestas.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHF5xtu_Spr60T8vyWdihE4N6QbyQkmDG-vq7kmsJQOWqVG_iJastB2XwQBqb_gV2QIqFoqITs1gr1uZNjwgCuCPk-49Iv9uFbWlXO1DKoHXUpnGz2eOy0lyRIAJCj0Ei0BWT-yup2ha5T/s1600/823770299_5abdc0caaa.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHF5xtu_Spr60T8vyWdihE4N6QbyQkmDG-vq7kmsJQOWqVG_iJastB2XwQBqb_gV2QIqFoqITs1gr1uZNjwgCuCPk-49Iv9uFbWlXO1DKoHXUpnGz2eOy0lyRIAJCj0Ei0BWT-yup2ha5T/s320/823770299_5abdc0caaa.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i>"Son encuestas, no profecías." </i>leía por allí en las redes sociales. Una encuesta la podemos pensar como una medición realizada en un momento, y para comprender un poco mejor lo que representan, hay que notar que la intención de voto en la población es un ente <i>dinámico, </i>es decir que cambia con el tiempo.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Si pensamos la intención de voto como la estatura de un niño, las encuestas serían las mediciones que el pediatra realiza a lo largo de la niñez. Las mediciones cambian, y estas individualmente, no pueden predecir la estatura que alcanzará en la edad adulta. Sin embargo, el pediatra con dichas mediciones puede realizar un modelo (o seguir una curva normal) para predecir la estatura.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
De igual manera, las encuestas, vistas aisladamente, no pueden ofrecer una visión clara de los fenómenos, resulta más rico el analizar las <i>tendencias</i> que estas presentan. Para esta segunda vuelta solamente encontré dos encuestas principales de instituciones. Estas fueron realizadas por la firma <a href="http://diariodigital.gt/2015/09/19/encuesta-jimmy-morales-el-triunfador/" target="_blank">Felipe Noguera</a> y por <a href="http://www.prensalibre.com/guatemala/decision-libre-2015/jimmy-morales-aventaja-por-35-puntos-a-sandra-torres" target="_blank">ProDatos</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0jP936PO5vVgfmpKH_0TygC0Qx39a8RHIpuIDoQks9rt08LSkWjLp4q8MlB5YFBuCOOe2EVWMZt1KkKIsvjtBqmrbaIHGMIjFIwL4bBHN0H40jOVXZLBsWT2z6L_EzZohWbtJ7aRYhYZT/s1600/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="209" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0jP936PO5vVgfmpKH_0TygC0Qx39a8RHIpuIDoQks9rt08LSkWjLp4q8MlB5YFBuCOOe2EVWMZt1KkKIsvjtBqmrbaIHGMIjFIwL4bBHN0H40jOVXZLBsWT2z6L_EzZohWbtJ7aRYhYZT/s320/Untitled.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Con estos datos se puede realizar una modelación utilizando <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkov" target="_blank">cadenas de Markov</a> como se realizó <a href="http://towardsthelimitedge.blogspot.com/2015/08/elecciones-2015-guatemala-modelos-de.html" target="_blank">anteriormente</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Dado que la distancia entre ambas encuestas es muy corta, y que la segunda vuelta es muy próxima, es posible proyectar los datos obteniendo una matriz de transición $T$ de tal forma que</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$v_0=\text{ Felipe Noguera}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$v_2=\text{ ProDatos }$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$v_3=\text{ Segunda Vuelta}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde el índice cuenta el número de quincenas a partir de la primer encuesta. Entonces se tiene que </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$T^2v_0=v_2\,,\text{ y } T^3v_0=v_3\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
La matriz de transición $T$ es simétrica positiva y donde la suma de sus columnas (o filas) es 1. Es posible encontrar $T$ utilizando <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados" target="_blank">mínimos cuadrados</a>. En este caso el error obtenido fue de $4.16334*10^{-17}$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Con esto se obtienen los siguientes porcentajes </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrUZdnzg9VkOaNx8Xt5MYj2CIfPuqqxfB2foXGjUQceN4cSReHcVQ8ZZDicgsG6Ky2tysddMJcz_4n0JnmCL_RZJJNWXKI3aHZSRLNfxkFEtjwTiSgWwFNO6KI6RiisWmjB_BpqlTUcuvc/s1600/Screen+Shot+2015-10-22+at+10.10.31+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrUZdnzg9VkOaNx8Xt5MYj2CIfPuqqxfB2foXGjUQceN4cSReHcVQ8ZZDicgsG6Ky2tysddMJcz_4n0JnmCL_RZJJNWXKI3aHZSRLNfxkFEtjwTiSgWwFNO6KI6RiisWmjB_BpqlTUcuvc/s1600/Screen+Shot+2015-10-22+at+10.10.31+PM.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
El error reportado por las encuestas fue del 3.5% y del 2.8% respectivamente, y utilizando un análisis de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Propagaci%C3%B3n_de_errores" target="_blank">propagación de errores</a>, se obtiene un error de proyección del 7.7%.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-76895695697223096202015-10-08T21:13:00.002-07:002015-10-09T09:19:32.711-07:00The last digit of pi is 1One of the most interesting Chuck Norris facts states that <i>he knows the last digit of pi</i>. The other day I was thinking that maybe I could join team Norris and find it too.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioOK0E7i3WuFYfGFZ7dIPgGegIJBh8M9KLoXQQ8KljDonaWFzEIaANTM8wKHaS5E_2JzO7xNtCO1Hqaaf92qI6gHtjyxYukcTt0pBxlC2FCAmyM_za4J_I2Jqz9HJ2sdJpccDPIqRwfvSl/s1600/full_thumbnail.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioOK0E7i3WuFYfGFZ7dIPgGegIJBh8M9KLoXQQ8KljDonaWFzEIaANTM8wKHaS5E_2JzO7xNtCO1Hqaaf92qI6gHtjyxYukcTt0pBxlC2FCAmyM_za4J_I2Jqz9HJ2sdJpccDPIqRwfvSl/s320/full_thumbnail.jpg" width="210" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Now, finding what is the last digit in the <a href="http://mathworld.wolfram.com/DecimalExpansion.html" target="_blank">decimal expansion</a> of a number is actually something that is not well defined. Even thought that we can say that the last digit of $1/2=0.5$ is 5 and we could argue that the last digit of $1/3=0.\bar{3}$ is 3, for example, for $13/99=0.\overline{13}$ the digits are periodic and hence 1 and 3 will keep repeating without reaching a <i>limit</i>. We of course could say that the last digit for this is the last digit <i>appearing on the period, </i>which gives 3 in base 10.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Likewise, if we define the sequence $d_n$ to be the $n$th digit of the decimal expansion of $\pi$, we have that </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\lim_{n\to\infty}d_n$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
does not exist. So maybe we can twist the question a little in order to make it more sound. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
A very nice approach is to use <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction" target="_blank">continued fraction representation</a> of numbers,</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ddots}}}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Here the $a_i$ are integers. Usually this is abbreviated as </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$x=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots]\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
With this notation we get rid of the problem about the base expansion, as it is independent from the base in which the numbers are written. Here the problem about finding the last digit of rational numbers is straight forward, as rationals have a finite continued fraction expansion. For example $13/99=[0; 7, 1, 1, 1, 1, 2]$, that is</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\frac{13}{99}=0+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}}}}}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Then we can say that the last <i>number</i> on the expansion of $13/99$ is $2$. This even works for irrational numbers. For example $\sqrt{2}$ has an expansion as continued fraction $\sqrt{2}=[1;\bar{2}]$, that is</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ddots}}}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hence we can say that the last number of $\sqrt(2)$ is $2$. Still, not all irrationals have nice continued fraction representations. For instance </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\frac{1+\sqrt{3}}{2}=[1;\overline{2,1}]\,,$$ </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
which throw us back to the original problem of periodic expansions. This time though, we have a nice ace under the sleeve. It is due to Galois and it establishes an <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_continued_fraction#Reduced_surds" target="_blank">outstanding result</a> about <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_irrational" target="_blank">quadratic surds</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOKkIRfA5TB4n_ZEs0JrgQEscfHD4j84AeF6SgBOfoWoWtmsQ5MojcVczcS_0JR8D-9nsVMxLieMyBzIj_zPL4giUKSZHI8lOcdmmqa2MRtnEXz8QPZj3ahY2z37it-ioT5I4uFc1rLypR/s1600/Galois.GIF" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOKkIRfA5TB4n_ZEs0JrgQEscfHD4j84AeF6SgBOfoWoWtmsQ5MojcVczcS_0JR8D-9nsVMxLieMyBzIj_zPL4giUKSZHI8lOcdmmqa2MRtnEXz8QPZj3ahY2z37it-ioT5I4uFc1rLypR/s1600/Galois.GIF" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
It states that given a <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_continued_fraction#Reduced_surds" target="_blank">reduced surd </a>$\alpha=[\overline{a_0;a_1,a_2,\dots,a_n}]$, its conjugate $\phi(\alpha)$ has a relation with the number obtained by reversing the order of the continued fraction expansion for $\alpha$. This relation is given by</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$-\frac{1}{\phi(\alpha)}=[\overline{a_n;a_{n-1},a_{n-2},\dots, a_1,a_0}]\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The conjugate $\phi$ is pretty much like the more familiar <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate" target="_blank">complex conjugate</a>, but in a more general setting. The conjugate of a quadratic surd simply changes the sign of the radical, </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{P+\sqrt(D)}{Q}\mapsto\frac{P-\sqrt(D)}{Q}\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Thus in the case of </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\alpha=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$, we have that the inverse negative of its conjugate should have a reversed continued fraction expansion,</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=[\overline{2,1}]\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Thus, is we follow the original idea as for periodic rationals, the last number of $(1+\sqrt{3})/2$ is $2$, which is the first number of $2/(\sqrt{3}-1)$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In order to understand how to use this in the general case, the role of the discriminant is important. For example, for complex numbers we have that $D=-1$. This is called the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant" target="_blank">discriminant</a> and it is related to the quadratic equation that the number satisfy. That is, if $\alpha$ is a quadratic surd, it is the zero of a quadratic polynomial</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$p(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c=0\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
and $D=b^2-4ac$. The beauty of the conjugate function $\phi$ is that it permutes the roots of the polynomial $p(x)$. In the case of the complex numbers, $D=-1$ and the polynomial is </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$p(x)=x^2+1\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
We have then that the conjugation takes one root of this polynomial into the other $\bar{i}=-i$. In general, this can be done for any polynomial $p(x)$ of higher degrees. When we go to higher degrees, there is more than one <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Involution_(mathematics)" target="_blank">involution</a> that permutes the roots of $p$. This is the area of study of <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory" target="_blank">Galois Theory</a> (no wonder why is connected to the original thing!)</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTkDC2IQ2oMzsqGkO3JeiInUlR3JhnurfXm7T548HlrLnYgqgF_tdMbhha7JbF0PKu85TS8JLfzO0l2DcG3mrj76KL5f_rZsr5l1FqYkdUnEPK6ZQJSkUqnvCfue-J25g_Pt9tepVx6r-R/s1600/Dihedral4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="81" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTkDC2IQ2oMzsqGkO3JeiInUlR3JhnurfXm7T548HlrLnYgqgF_tdMbhha7JbF0PKu85TS8JLfzO0l2DcG3mrj76KL5f_rZsr5l1FqYkdUnEPK6ZQJSkUqnvCfue-J25g_Pt9tepVx6r-R/s320/Dihedral4.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Galois reversing result works only for reduced quadratic numbers, but taking this idea, we can extend it for more general situations,</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>Let $\alpha$ be the zero of a function $f(x)$ and let $\phi$ be a function that</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>permutes the roots of $f(x)$. If $-1<\phi(\alpha)<0$ then define the last</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>number </i><i>for $\alpha$ to be the first number on the continued fraction of </i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<i>$$-\frac{1}{\phi(\alpha))}\,.$$</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In the case of $\pi$, we have that $f(x)=\sin(4x)$ is a possibility. Now we need an involution on the roots of $f$. Let $\phi$ be such that $\phi(\pi)=-\pi/4$. Then we can say that the last number of $\pi$ is the same as the first number of </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{4}{\pi}=[1; 3, 1, 1, 1, 15, 2, 72, 1, 9, 1, 17, 1, 2, ...]$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
which is 1. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
A naive way of thinking about this is that we can regard $\pi$ as a number with an infinite period and thus the scheme could give something meaningful. But of course, this definition is not well defined as there are infinite possible involutions for the set or roots of $f(x)$. These involutions form a group known as the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_dihedral_group" target="_blank">infinite dihedral group</a>, $D_\infty$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
If there is anything like Galois theory for analytic functions maybe we could find <i>the</i> last number in $\pi$. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-88849215984823563942015-10-04T21:02:00.004-07:002015-10-05T18:00:21.756-07:00Números analíticos y meromorfos<div style="text-align: justify;">
Hace unos días hablábamos con Vinicio sobre la naturaleza de los números reales. Tradicionalmente los reales se dividen en naturales, enteros, racionales e irracionales.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.ditutor.com/numeros_reales/images/10.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.ditutor.com/numeros_reales/images/10.gif" height="275" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\,,\qquad\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}=\mathbb{R}\,.$$<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Históricamente esta clasificación de los números viene dada por las propiedades algebraicas que presentan. Primero tenemos a los números naturales que surgen de la necesidad del hombre de contar sus bienes. Contar ovejas, alimentos, terreno, etc. Al iniciar las relaciones comerciales se ve la necesidad de "juntar" y "quitar" objetos, así como de representar deudas y créditos. Con esto surgen los números enteros. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hasta este punto, los números eran nada más utilizados para contar, ya sea lo que se tiene o lo que se debe, sin embargo con el desarrollo de la geometría, la construcción y la fabricación de objetos, aparece otra necesidad en el ser humano: medir.</div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/docencia/aureo-partenon2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/docencia/aureo-partenon2.gif" height="193" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Los racionales surgen de considerar mediciones y proporciones entre estas. Hubo que esperar muchos cientos de años hasta que se consideró un conjunto más completo de números. Los reales son obtenidos por medio de considerar la noción de límite. Esto viene de realizar el paso entre lo discreto y lo continuo. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Algebraicamente se puede describir esto partiendo de $\mathbb{N}$ como el conjunto base dotado de suma. Luego $\mathbb{Z}$ se obtiene al considerar también la resta. Resulta ser que los enteros admiten multiplicación, y para obtener los racionales, se considera la división. Los reales aparecen con el cálculo integral y diferencial. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Sin embargo, otra forma muy interesante de realizar esta clasificación de los números viene de estudiar sus propiedades por medio de analizar funciones sobre ellos.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Los enteros surgen de considerar ecuaciones del tipo</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$x+n=0\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde $n$ es un natural. Esta ecuaciones tendrá soluciones enteras, mas no naturales (excepto $n=0$). Similarmente, al considerar las ecuaciones del tipo </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$bx-a=0$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
con $a,b$ enteros y $b\neq0$, tenemos que las soluciones son racionales. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Esta es la idea detrás de los <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_alg%C3%A9brico" target="_blank">números algebraicos</a>, los cuales son soluciones de polinomios sobre enteros. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Los algebraicos incluyen a los racionales, sin embargo números irracionales como $\sqrt{2}$ son algebraicos. También hay reales que no so algebraicos, tal es el caso de $e$ y $pi$. Estos se llaman <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente" target="_blank">trascendentes</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Una forma de seguir clasificando a los reales por características de este tipo es por medio de considerar soluciones reales a ecuaciones del tipo</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$f(x)=0\,.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Para $f$ un polinomio de grado $n$, se dice que $x$ es un algebraico de grado $n$. Es decir, si $f$ es de la forma</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\,,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
con $a_k\in\mathbb{Z}$ (o equivalentemente $a_k\in\mathbb{Q}$).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Siguiendo con esta idea, podemos definir los números analíticos como aquellos que son soluciones de funciones de la siguiente forma</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
para series con un <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia" target="_blank">radio de convergencia</a> positivo. Con esto tenemos que $pi$ es analítico, ya que para $$f(x)=\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
tenemos que $f(\pi)=0$. De igual manera $\ln(2)$ es analítico, pues<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$f(x)=e^x-2=-2+\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k$$</div>
<br />
anula a $\ln(2)$. Sin embargo, parece ser que $e$ no es analítico, pero $e-1$ si lo es. Lo extraño de esto viene de que acá consideramos convergencia y ya no es posible en general reordenar términos en las series sin afectar la convergencia.<br />
<br />
Aunque los analíticos parecieran cubrir una porción mucho más grande de los reales, estos son nada mas contables. Esto se puede ver dado que cada coeficiente $a_k$ es racional, y tenemos un numero contable de estos. Además, las funciones analíticas distintas de cero solo tienen un numero contable de ceros.<br />
<br />
Otro tipo de números que pueden definirse siguiendo esta linea son los números meromorfos, los cuales vienen de encontrar los ceros de funciones de la forma<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_kx^k\,,$$</div>
<br />
con $a_k\in\mathbb{Q}$. Por la misma razón de antes, estos también seran solo un número contable, así que faltan muchos más por clasificar. Quizás esta linea pueda seguirse para poder ir abarcando poco a poco la totalidad de los reales.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-15493824499252080532015-09-21T22:48:00.001-07:002015-09-21T22:57:56.107-07:00The geometry of irrationals<div style="text-align: justify;">
Many years ago I remember reading about irrational numbers and the various surprising things they hide. One nice thing about irrationals is that even thought we think of them as being bad behaved and ugly, we can still classify them further. For example, we have irrationals that are also <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number" target="_blank">algebraic</a>, that is, they are zeros of a polynomial with integer coefficients.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
We can think that rationals are algebraic of degree 1, while algebraic of degree 2 include $\sqrt{2}, \sqrt{3} $, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio" target="_blank">the golden ratio</a>, etc.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Then we have numbers that are not algebraic, that is, they are not zeros of polynomials with integer coefficients. These are called <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number" target="_blank">Transcendental</a>. Some of the famous ones in this category are $\pi, e$, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number" target="_blank">Liouville's constant</a>, etc.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Another way of studying irrational numbers is by measuring<a href="http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html" target="_blank"> </a><i><a href="http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html" target="_blank">how irrational are they</a>. </i>This really means to study how well a number can be approximated with rational numbers, that is, loosely speaking, how fast the denominators of the fractions approximating the number have to grow to stay close to it.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
We can think that this has to do with the<a href="http://mathoverflow.net/questions/53724/are-some-numbers-more-irrational-than-others" target="_blank"> representation</a> of real numbers with approximations by rationals. In a more philosophical way, this irrationality measure can tell how well we can approximate numbers in the math world, with numbers in the real world.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://www.math.umn.edu/~garrett/m/mfms/notes_2013-14/04b_Liouville_approx.pdf" target="_blank">Liouville</a> was big into approximating irrationals with rationals trying to do it in the most efficient way, that is, controlling the size of the denominators. More recently, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Klaus_Roth" target="_blank">Roth</a> made contributions into a deeper understanding of this, leading him to win the Fields Medal in 1958.</div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://33.media.tumblr.com/d8a5312755288bed2952eed4eeff4b16/tumblr_njjdh9EABY1rpco88o2_r1_500.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://33.media.tumblr.com/d8a5312755288bed2952eed4eeff4b16/tumblr_njjdh9EABY1rpco88o2_r1_500.gif" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Looking at this Facebook post about the integer lattice in $\mathbb{R}^3$, I remember an attempt at defining another way of measuring the irrationality of a number.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
First, consider the integer <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_lattice" target="_blank">lattice</a> in $\mathbb{R}^2$. Given a real number $m$, graph the line $y=mx$. Thus the line will hit the lattice if and only if $m$ is rational, so the idea is to analyze what happens when $m$ is irrational.</div>
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhT-Qx1SuDd5Hb80VTpH6ES6d0babeCKHTYdTSmRQWdAyBSUHhQ_Ka9HuTfj2HGMbkAEcFhtMFdyNFxf2-HXI1jHwM_PdgosEtuQuMy-8XcBn1-jv6Lv_CmZiS9ClMuao3DvrGvA_4RnyYe/s1600/Screen+Shot+2015-09-22+at+12.13.11+AM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="289" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhT-Qx1SuDd5Hb80VTpH6ES6d0babeCKHTYdTSmRQWdAyBSUHhQ_Ka9HuTfj2HGMbkAEcFhtMFdyNFxf2-HXI1jHwM_PdgosEtuQuMy-8XcBn1-jv6Lv_CmZiS9ClMuao3DvrGvA_4RnyYe/s320/Screen+Shot+2015-09-22+at+12.13.11+AM.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
For this, consider the following: consider a radius $r>0$ and draw the biggest circular sector of radius $r$ that is symmetric around the line $y=mx$ and that <i>does not contain any point of the lattice.</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHVRaR5TU5KPoAbCtXGI2F10Em1i36_vQ4CMvU5EwZGWa7ipAga6vORBoB-yZHU3TfpQR3OXrYqj9TfkvA5cktkln958_1p8oAmjZ-XmU7yiZJct8o6ggBemtK5btjkpmRZrhLAY7qbUr8/s1600/Screen+Shot+2015-09-22+at+12.15.01+AM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHVRaR5TU5KPoAbCtXGI2F10Em1i36_vQ4CMvU5EwZGWa7ipAga6vORBoB-yZHU3TfpQR3OXrYqj9TfkvA5cktkln958_1p8oAmjZ-XmU7yiZJct8o6ggBemtK5btjkpmRZrhLAY7qbUr8/s320/Screen+Shot+2015-09-22+at+12.15.01+AM.png" width="300" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
That is, the sector must not contain any of the blue points from the lattice. Now, the idea is to measure this area and treat it as a function of the radius $A_m(r)$. I created a <a href="http://ggbtu.be/m1662077" target="_blank">GeoGebra demonstration </a>to show the idea of the sector.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<iframe height="400px" scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/1662077/width/640/height/400/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" style="border: 0px;" width="640px"> </iframe><br />
<span style="text-align: justify;"><br /></span>
<span style="text-align: justify;"><br /></span>
<span style="text-align: justify;">Here you can see how the area of the sector changes when the radius changes, and also how the procedure varies when considering different values for $m$.</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Effectively what happens is that we are looking for the best approximation of the number $m$ using a fraction $p/q$ with $p^2+q^2\leq r^2$. This way we control the size of both numbers for the approximation of $m$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Thus we have that</div>
<div style="text-align: center;">
$$A_m(r)=r^2\big|\arctan(m)-\arctan(f_m(r))\big|\,,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
where $f_m(r)$ is the best approximation to $m$ with a rational inside the circle of radius $r$, that is</div>
<div style="text-align: center;">
$$f_m(r)=\min \big|m-\frac{p}{q}\big|\,,\quad \text{ where }p^2+q^2\leq r^2\,.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Now, the trick is to analyze $A_m(r)$ as $r\to\infty$. One might think that this is trivially zero, since any irrational can be written as the limit of a sequence of rationals, but we also have the radius growing up to infinity, hence becoming an indeterminate form.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
That is, it might be possible to propose another irrationality measure as</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$\nu(m)=\lim_{r\to\infty} \sup A_m(r)\,.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
The $\sup$ just ensures the existence of $\nu(m)$, we don't even know if there is a limit!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
If $m$ is rational, this is exactly zero, but the question would be what happens for $m$ irrational. I did some numerics to have an idea of this measure for a couple of cases. Of course this is no evidence, as a limit like this cannot be trivially calculated using numerical methods, but at least gives a bit of insight.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgynC_VA9nc_3JXLZ65ptM7QK086XInuBDuKUfIaU72SaU0GVlIyHFaX5FhnWTivn3v4P_WzNBIMzLfZPpX-xjr5fdcYPMXWJ3BlONSd9CgMZUDnGtgN22DWbkt11EluRqxqy0pJcutV4SX/s1600/root2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="195" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgynC_VA9nc_3JXLZ65ptM7QK086XInuBDuKUfIaU72SaU0GVlIyHFaX5FhnWTivn3v4P_WzNBIMzLfZPpX-xjr5fdcYPMXWJ3BlONSd9CgMZUDnGtgN22DWbkt11EluRqxqy0pJcutV4SX/s320/root2.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
For example, for $m=\sqrt{2}$ we have that the graph of $A_{\sqrt{2}}(r)$ seems to oscillate between 0.2 and 1.4. We can see here that the peaks happen when a new rational approximation is found. Naively speaking, $\sqrt{2}$ is not hard to approximate with rationals, and hence we don't have to increase too much in $r$ to find a new approximation.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEianYW3O-6zYLsLfoUbDnq_Pdbxm9d2njWrDOE67sBx8nnLgqgljqVOB8hbI1avOmKcODLbEQ3bi3xqVeslZoHSyo451uLGzPaY5gXebrmQfBC4g1fsgK-MROR0ym9h_37xBOipBZXGz1fP/s1600/pi.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEianYW3O-6zYLsLfoUbDnq_Pdbxm9d2njWrDOE67sBx8nnLgqgljqVOB8hbI1avOmKcODLbEQ3bi3xqVeslZoHSyo451uLGzPaY5gXebrmQfBC4g1fsgK-MROR0ym9h_37xBOipBZXGz1fP/s320/pi.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
On the other hand, for $m=\pi$ we have a different behavior. We have a series of good approximations, but then suddenly we cannot find any more good approximations. Even though it looks like $A_\pi(r)$ went to 0 around $r=400$, if we zoom in we can see that it is slowly rising finding a new approximation. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_lWhkmGnZEyKx9Ga4jgweqcTnIAGZaQDoRJ6ROEi4wsQ7vTJc3NT29PISYJWa3pBsChCNwNlkxHgmSOON0SVd27sNMUqr2fV2W-SHOd_bwhrMOb0kX5d38MCRd6IQ7ajwmZU9og2GIioD/s1600/pizoom.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="197" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_lWhkmGnZEyKx9Ga4jgweqcTnIAGZaQDoRJ6ROEi4wsQ7vTJc3NT29PISYJWa3pBsChCNwNlkxHgmSOON0SVd27sNMUqr2fV2W-SHOd_bwhrMOb0kX5d38MCRd6IQ7ajwmZU9og2GIioD/s320/pizoom.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I believe this is a very interesting topic and I think there is something nice waiting to be discovered here. Even if it leads to the same notion as the Liouville-Roth exponent, this would provide a more geometric interpretation of the behavior of irrational numbers. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
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<i><br /></i></div>
Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-14185557727213867232015-09-10T12:19:00.000-07:002015-09-13T20:39:32.670-07:00Con matemáticas no hay sorpresas<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Para muchos, las recientes elecciones en Guatemala han resultado en una gran sorpresa debido a sus resultados. Sin embargo, con matemáticas no hay sorpresas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Hace mas de un mes hice varias <a href="http://towardsthelimitedge.blogspot.com/2015/08/elecciones-2015-guatemala-modelos-de.html" target="_blank">proyecciones</a> utilizando los resultados de varias encuestas, tanto las principales, como las diversas encuestas encontradas en internet. Los resultados de las proyecciones en base a las principales encuestas publicadas en medios impresos arrojaron que<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: Times; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin: 0px; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 1; word-spacing: 0px;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; clear: both; color: black; font-family: Times; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; margin: 0px; orphans: auto; text-align: center; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 1; word-spacing: 0px;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiQB6iewscKWg7xxEy67ZdK386daS7gmJ9GdSCV8WZ3BdtihYOmPBFdcGrZpfHjje0INyEesBHl8YdtGnnuuHIbahwfsY1aSC1ogyi4yMBiXzAVCw919er7-RNobvfaLkGHzwWCTloQ2we/s1600/Screen+Shot+2015-09-10+at+1.34.59+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiQB6iewscKWg7xxEy67ZdK386daS7gmJ9GdSCV8WZ3BdtihYOmPBFdcGrZpfHjje0INyEesBHl8YdtGnnuuHIbahwfsY1aSC1ogyi4yMBiXzAVCw919er7-RNobvfaLkGHzwWCTloQ2we/s1600/Screen+Shot+2015-09-10+at+1.34.59+PM.png" style="cursor: move;" /></a></div>
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdH8fnDMvq3FUdoryf_uECwvY-fMPmwiidLedTigaGXdazfPIBGmzYvmyzbblLDv5m1_GoWb61btK9sR9PJkB1UMouHIGNGuzYgXgAXCaaWHBNtRYhYZSJC7inWICJiLkI1fHPalOYCM1O/s1600/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="192" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdH8fnDMvq3FUdoryf_uECwvY-fMPmwiidLedTigaGXdazfPIBGmzYvmyzbblLDv5m1_GoWb61btK9sR9PJkB1UMouHIGNGuzYgXgAXCaaWHBNtRYhYZSJC7inWICJiLkI1fHPalOYCM1O/s320/Untitled.png" width="320" /></a></div>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: xx-small;">Comparación entre proyecciones y resultados actuales</span></div>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: xx-small;"><br /></span></div>
<div>
<br /></div>
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en donde se tenía un error de aproximadamente 3%. Al analizar las proyecciones que incluían las encuestas realizadas por internet se encuentra que estas estaban muy sesgadas, aunque igualmente la tendencia de FCN al primer lugar y a una diferencia muy estrecha entre UNE y LIDER seguía observándose (menos de un 3%).</div>
</div>
<div>
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTUr7hF-8naSaTGQq_isw7E85Qq-FOYy_JvzfbL4xiSfY_aHitbuOCu0I7IH5UYxz1EU4ak0Trg7kVRxyOkC-mQBFX9Z-Z_mVj7_MlQnMN_u2VQ9JCc6ehqU2H82TYFkSt2aNycA9KszkH/s1600/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="202" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTUr7hF-8naSaTGQq_isw7E85Qq-FOYy_JvzfbL4xiSfY_aHitbuOCu0I7IH5UYxz1EU4ak0Trg7kVRxyOkC-mQBFX9Z-Z_mVj7_MlQnMN_u2VQ9JCc6ehqU2H82TYFkSt2aNycA9KszkH/s320/Untitled.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: xx-small;">Participación en elecciones pasadas para 1era y 2nda vuelta</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: xx-small;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div>
Otra de las grandes sorpresas fue la participación ciudadana. Al momento se calcula que ha sido del 71.32%, algo que no se había dado en la historia política de Guatemala. Sin embargo, al analizar la historia de todas las elecciones desde 1985 se puede observar una tendencia interesante.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Los datos en azul representan los porcentajes de participación en primera vuelta (incluyendo la del 2015) y los datos en rojo la participación en segunda vuelta. A partir de 1995 se nota que la tendencia a la participación ha ido en aumento casi constante, por lo que se puede realizar un <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/RANSAC" target="_blank">análisis</a> de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_at%C3%ADpico" target="_blank">valores atípicos</a> para poder encontrar un modelo de regresión lineal que pueda describir los datos. Al realizar esto, se obtiene que los datos están correlacionados en 98.49% para la primera vuelta, y 95.98% en la segunda vuelta.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZ9ltHzfQznzdEYUb2-PhwdLxs1gwyEfGJz4oh_vXF98TkzFwwZu6Wzv4L6EYTk_dRocuISbZGD8HssMpPI-A6QfGj0OpPoRLwD_kIEKmVShHZd_CbqSotZc3EoJX3qpQew-YtJvSVP6f3/s1600/Screen+Shot+2015-09-10+at+1.54.58+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="102" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZ9ltHzfQznzdEYUb2-PhwdLxs1gwyEfGJz4oh_vXF98TkzFwwZu6Wzv4L6EYTk_dRocuISbZGD8HssMpPI-A6QfGj0OpPoRLwD_kIEKmVShHZd_CbqSotZc3EoJX3qpQew-YtJvSVP6f3/s320/Screen+Shot+2015-09-10+at+1.54.58+PM.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijnJWOZsBzJFzwm4v_MIkpZrlcfDEARwePrUOvJw2B82mhK3OqDP6LTzRj7Q5ehsDEhwkdWOZtCKLrC0JlBkxvj1w8BsasBz54PP8Gsy9B5xgr3p9yiRfI6R2PNuz2JX0jiEDjoDv5__v5/s1600/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="218" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijnJWOZsBzJFzwm4v_MIkpZrlcfDEARwePrUOvJw2B82mhK3OqDP6LTzRj7Q5ehsDEhwkdWOZtCKLrC0JlBkxvj1w8BsasBz54PP8Gsy9B5xgr3p9yiRfI6R2PNuz2JX0jiEDjoDv5__v5/s320/Untitled.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-size: xx-small;">Comparación entre proyecciones y valores actuales</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Con esto, se tenía que la proyección daba una participación del 72.39%, lo cual difiere en 1.07% del valor actualmente registrado. Así mismo, se espera que en segunda vuelta haya una participación de al rededor del 63.4%. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Al analizar datos de una forma sistemática y formal, no existen sorpresas. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-84357123575654145712015-08-16T19:33:00.001-07:002015-08-16T19:34:46.008-07:00Series de tiempo dan 20% de abstencionismo y 2% de votos blancos/nulos<div style="text-align: justify;">
Siguiendo con el análisis de datos para estas próximas elecciones en Guatemala, es posible dar un estimado de los porcentajes de abstencionismo y de los votos validos que ocurrirán en esta ocasión.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Utilizando un modelo de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_temporal" target="_blank">series de tiempo</a>, es posible modelar los datos de todas las elecciones ocurridas en Guatemala desde 1985 hasta la fecha. En base a los datos publicados por el <a href="http://www.tse.org.gt/" target="_blank">Tribunal Supremo Electoral de Guatemala</a>, se puede obtener una proyección del porcentaje de abstencionismo esperado para estas elecciones del 2015.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Siguiendo la metodología desarrollada en este <a href="http://towardsthelimitedge.blogspot.cl/2015/08/elecciones-2015-guatemala-modelos-de.html" target="_blank">post</a>, se obtiene que el porcentaje esperado de abstencionismo es del $20%$, con una incerteza del $2%$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Así mismo, es posible estimar el total de votos nulos/en blanco dentro del total de votos válidos. Al realizar esta proyección, se espera que solamente el $2%$ de los votos válidos son en blanco o nulos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esto quiere decir, que con un estimado de más de ocho millones $(8200000)$ habitantes empadronados, solamente seis millones y medio $(6560000)$ asistirán a votar, y de estos , ciento treinta mil $(131200)$ serán votos blancos o nulos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-38145193393220598042015-08-09T20:13:00.000-07:002015-08-09T21:48:59.857-07:00Elecciones 2015 Guatemala: Modelos de Markov dicen Morales y Baldizón<div style="text-align: justify;">
Estando a menos de un mes de las elecciones presidenciales en Guatemala, quise evaluar los datos existentes sobre las encuestas realizadas. </div>
<div>
Un primer reto fue el encontrar los datos de las encuestas, lastimosamente a pesar de la era tecnológica en la que vivimos, estos datos no están facilmente disponibles. Las referencias de los datos se encuentran al final.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Para poder realizar una proyección de los comicios de este 6 de Septiembre de 2015, es posible tratar los datos de las encuestas como una <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkov" target="_blank">Cadena de Markov</a>, en donde cada encuesta es un <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados" target="_blank">estado</a> en el espacio de distribución de intensión de voto.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Si suponemos que hay $n$ partidos, la idea es utilizar un tipo de <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_oculto_de_M%C3%A1rkov" target="_blank">Modelo Oculto de Markov</a> con una matriz de transición $T=(t_{ij})$ donde $t_{ij}$ es la probabilidad de que un votante que tenía intención de votar por el partido $i$ cambie de parecer y vote por el partido $j$. Acá, la matriz $T$ es desconocida. El objetivo es encontrar la matriz de transición para poder obtener el <a href="http://www.investigaciondeoperaciones.net/distribucion_estacionaria_markov.html" target="_blank">estado estable</a> del sistema de Markov.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Para estimar estos datos, se puede definir el espacio de estados como los resultados de las encuestas, en order cronológico. De esta manera se ve la intención de voto como un <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A1mico" target="_blank">sistema dinámico</a>.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Con esto, se tiene que </div>
<div>
$$TE_n=E_{n+1}\,,$$</div>
<div>
donde $E_n$ es la enésima encuesta considerada. En esta estimación fueron utilizadas 11 encuestas, $E_1,E_2,\dots,E_11$. Con estas encuestas, se obtienen 10 estimadores de la matriz $T$, </div>
<div>
<br /></div>
<div>
$$T_n=\left(E_{n+1}E^t_{n}\right)\left(E_nE^t_n\right)^{-1}\,.$$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Para poder realizar una estimación de la matriz de transiciones a partir de las matrices $T_n$, es posible analizar la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1tica" target="_blank">media</a> y <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_t%C3%ADpica" target="_blank">desviación</a> de las componentes de las matrices $T_n$, </div>
<div>
<br /></div>
<div>
$$M=E(T_n)\,,\qquad S^2=E(\left(T_n-T\right)^2)\,,$$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
donde las operaciones se hacen componente por componente. Con estos datos, se pueden obtener los <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza" target="_blank">intervalos de confianza</a> para los valores de la matriz de transición utilizando el<a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_l%C3%ADmite_central" target="_blank"> teorema del limite central</a> y la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student" target="_blank">distribución t de student</a> por tener un numero menor de 30 muestras con un $\alpha=5\%$.</div>
<div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCORsZ8ksztKVYbaEXGFU3WozN5t7e6_DgpNZEOHnFJI84ENYaRekhfMxPxrlit6CI-RFrDlQzFHckZQCbk3QBXFmH01hmlr_79UO3g-MuJbcY93mNgov-fQs-DJ_J_hNXAHf1FEC4wH3r/s1600/Screen+Shot+2015-08-09+at+9.55.43+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="122" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCORsZ8ksztKVYbaEXGFU3WozN5t7e6_DgpNZEOHnFJI84ENYaRekhfMxPxrlit6CI-RFrDlQzFHckZQCbk3QBXFmH01hmlr_79UO3g-MuJbcY93mNgov-fQs-DJ_J_hNXAHf1FEC4wH3r/s320/Screen+Shot+2015-08-09+at+9.55.43+PM.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
En este cuadro están las diferentes proyecciones considerando las encuestas de internet, las impresas, y todas las encuestas, tomadas en orden aleatorio y en orden cronológico.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Con estos datos, se calculan las medias y desviaciones de las proyecciones, para poder calcular el margen de error del modelo. $LI$ y $LS$ denotan los límites inferior y superior respectivamente de las proyecciones realizadas. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Los datos en verde muestran los candidatos con mayor intensión de voto proyectada, mientras que los datos en amarillo muestran los candidatos con la segunda intensión de voto proyectada. Es de notar que al considerar todos los datos, el porcentaje comprendido en <i>otros </i>resulta ser el segundo lugar. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
En todas las proyecciones, salvo las realizadas con datos de internet solamente, se tiene que hay segunda vuelta entre FCN y LIDER, teniendo FCN un amplio margen sobre el segundo lugar, con un error promedio del $2.77\%$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Considerando los posibles escenarios, es posible que haya una segunda vuelta entre FCN y UNE o entre FCN y FUERZA, siendo la segunda la más probable, sin embargo FCN y LIDER es la combinación esperada.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBqkGHCwZFRQkwKoFWWUa0595DOIt7JNQVFn31APlkYlaTseKk74cp35G4itl-5cWNzmh3qDAY4IGs0anMoezh4N1xQFfYjyzsTYzOls7vSIFKAxDfemiGppqnrNrkJb1U2PrmWSu_m_1e/s1600/Untitled.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="202" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBqkGHCwZFRQkwKoFWWUa0595DOIt7JNQVFn31APlkYlaTseKk74cp35G4itl-5cWNzmh3qDAY4IGs0anMoezh4N1xQFfYjyzsTYzOls7vSIFKAxDfemiGppqnrNrkJb1U2PrmWSu_m_1e/s320/Untitled.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
[Referencias de datos]</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elecciones_generales_de_Guatemala_de_2015">https://es.wikipedia.org/wiki/Elecciones_generales_de_Guatemala_de_2015</a></li>
<li><a href="http://www.soy502.com/articulo/jimmy-morales-revelacion-encuesta-revista-contrapoder">http://www.soy502.com/articulo/jimmy-morales-revelacion-encuesta-revista-contrapoder</a></li>
<li><a href="http://www.poll-maker.com/results330703x2e3146C6-12#tab-2">http://www.poll-maker.com/results330703x2e3146C6-12#tab-2</a></li>
<li><a href="http://www.deguate.com/artman/publish/politica-elecciones2015/2a-encuesta-electoral-Junio-2015.shtml#.VcfflBNViko">http://www.deguate.com/artman/publish/politica-elecciones2015/2a-encuesta-electoral-Junio-2015.shtml#.VcfflBNViko</a></li>
<li><a href="http://eleccionesgt.aquitodito.com/encuesta-tu-por-quien-votarias-para-presidente-de-guatemala">http://eleccionesgt.aquitodito.com/encuesta-tu-por-quien-votarias-para-presidente-de-guatemala</a></li>
<li><a href="http://www.guatemalaelecciones.com/encuesta-presidencial-online-guatemala.php">http://www.guatemalaelecciones.com/encuesta-presidencial-online-guatemala.php</a></li>
</ul>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-60417568851950520752015-04-15T14:53:00.000-07:002015-04-15T14:57:30.683-07:00Seguridad, criptografía y grupos simétricos<div style="text-align: justify;">
Hoy en mi clase de matemática discreta hablamos sobre <a href="http://wiki.adwys.es/index.php?title=Criptosistema" target="_blank">criptosistemas</a>, y en especial, sobre el sistema <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/RSA" target="_blank">RSA</a> como un ejemplo de un sistema de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_asim%C3%A9trica" target="_blank">llave pública.</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/jornal/abril2014/images/materias/historia_da_computacao/img5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/jornal/abril2014/images/materias/historia_da_computacao/img5.png" height="156" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Un ejemplo de un criptosistema sencillo es cuando en la escuela jugábamos a mandar mensajes o hablar un lenguaje inventado, el cual solo uno y su mejor amigo sabían hablar. Para esto, se tiene una llave que sirve para encriptar el mensaje, y la misma llave sirve para descifrarlo. Esto puede ser muy sencillo de implementar, sin embargo cuenta con la desventaja de que debe haber una reunión previa para ponerse de acuerdo en la llave, es decir el cifrado. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.devmedia.com.br/imagens/articles/172524/800px-Asymetric_cryptography_-_step_2.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.devmedia.com.br/imagens/articles/172524/800px-Asymetric_cryptography_-_step_2.svg.png" height="214" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En el ámbito de la escuela, esto resulta suficiente, sin embargo para aplicaciones mas elaboradas, como transacciones por internet, resulta poco práctico. Si por ejemplo compro algo por internet, quiero enviar me manera segura mi numero de tarjeta de crédito, es decir, que solo el destinatario pueda leerla. Siguiendo el sistema anterior, para poder enviar mi mensaje, tendría que haberme reunido con el vendedor anteriormente y ponerme de acuerdo con el en una clave, pero si me hubiese reunido con el antes, le hubiera dado mi número de tarjeta en primera instancia y no me encontraría en este dilema.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La idea de los criptosistemas modernos (asimétricos) es prescindir de la necesidad de un acuerdo previo, y hacerlo todo remotamente. Suena como magia negra, y en cierto modo, lo es.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La magia negra utilizada es matemática, y en particular, algebra moderna. La idea es poder crear una forma de cifrar y descifrar mensajes que resulte <i>difícil</i> de <i><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Hackear" target="_blank">hackear</a></i>. Ahora bien, el problema comienza con entender qué significa que algo sea <i>difícil de hackear.</i></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-style: italic;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
Primero, nuestro objetivo es poder mandar mensajes de una forma segura a través de un canal inseguro. Para esto tenemos un conjunto $M$ de mensajes que podemos mandar. Antes de cifrar un mensaje, es necesario <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_c%C3%B3digos" target="_blank">codificarlo</a>, lo que significa traducir la información y manejarla como un objeto matemático.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para codificar un mensaje, tenemos un conjunto $G$ de códigos y una función codificadora</div>
<div style="text-align: justify;">
$$g:M\to G\,,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
$$m\mapsto g(m)\in G\,.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esto simplemente es una traducción y no contiene ningún aspecto de criptografía, al menos no algo <i>relevante</i>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Luego, tenemos una función encriptadora,</div>
<div style="text-align: center;">
$$E:G\to G\,,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
la cual sirve para cifrar los mensajes. Nótese que no se tratan de los mensajes en si, sino de la codificación de los mismos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por último, se tiene una función desencriptadora,</div>
<div style="text-align: center;">
$$D:G\to G\,,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
tal que $D\circ E=\text{Id}$, la identidad en $G$. Con esto, el proceso total para transmitir un mensaje $m$ resulta ser</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$g^{-1}\circ D \circ E\circ g(m)=m\,.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La parte relacionada con criptosistemas se enfoca en el medio, en $E$ y $D$, la cual es mas teórica. La parte de codificación tiene que ver mas con aspectos físicos del medio sobre el cual se realiza la transmisión.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ahora bien, la magia de la criptografía recae en el conjunto $G$ y las funciones definidas sobre $G$. Desde un punto de vista computacional, $E$ y $D$ son algoritmos que poseen cierta <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_complejidad_computacional" target="_blank">complejidad computacional</a>. Que nuestro sistema sea <i>difícil de hackear </i>significa que las funciones sean altamente complejas. Esto, a grandes rasgos, significa que es necesario invertir muchos recursos para poder obtener un resultado. Generalmente el recurso crítico resulta ser el tiempo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Las funciones $E$ y $D$ son las que se conocen como las <i>llaves</i> del criptosistema, y es necesario entonces poder tener una forma de generar dichas llaves.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una de las maneras de atacar esto es hacer que el conjunto $G$ tenga la estructura de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_%28matem%C3%A1tica%29" target="_blank">grupo</a>. Entonces, se pueden ver a las llaves como pertenecientes al conjunto de biyecciones de $G$ en si mismo, es decir, permutaciones.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para efectos prácticos, $G$ es un grupo finito, digamos con cardinalidad $n$. Entonces se tiene que las posibles llaves son elementos del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_sim%C3%A9trico" target="_blank">grupo de permutaciones</a> $S_n$, el cual tiene $n!$ elementos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Puesto que una llave $A$ es un elementos del grupo $S_n$, sabemos que su inverso $A^{-1}$ es otro elemento de $S_n$, es decir, es otra llave. Por lo tanto $(A,A^{-1})$ sirven para encriptar y desencriptar mensajes, y vice versa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La idea con sistemas de llave pública es que se hacen públicos el grupo $G$ y la función $A$ y se mantiene la función $A^{-1}$ en secreto. La magia del asunto es que nada más teniendo $G$ y $A$, calcular $A^{-1}$ resulta ser <i>difícil </i>computacionalmente hablando. Sin embargo, teniendo toda la información, sobre $G$, es <i>fácil</i> generar $A$ y $A^{-1}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Generalmente la generación de pares de llaves se realiza en base a parámetros aleatorios. Esto es, la llave $A$ depende de parámetros que uno puede escoger, es decir, $A(P)$. Conociendo estos parámetros, es <i>fácil</i> generar $A^{-1}(P)$, sin embargo, sin los parámetros $P$, esto resulta <i>difícil.</i></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-style: italic;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
Al no tener los parámetros $P$, alguien puede encontrar $A^{-1}$ nada mas por prueba y error, tratando de encontrar el inverso de $A$ en $S_n$, multiplicando $A$ con cada elemento hasta encontrar la identidad. Para valores pequeños de $n$ esto resulta no ser tan tedioso, sin embargo ya para $n=60$ tenemos que $S_n$ tiene más elementos que el número de <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=number+of+atoms+in+the+universe+" target="_blank">átomos en el universo visible</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Al final, lo crucial es el algoritmo $A(P)$, el cual toma parámetros y devuelve un elemento de $S_n$, es decir</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$A:\mathcal{P}\to S_n\,,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
donde $\mathcal{P}$ es el espacio de parámetros, el cual suele ser un producto cartesiano del tipo $\mathbb{F}^k$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Por lo tanto, se puede decir que el cuadro completo es</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$g^{-1}\circ A^{-1}(P)\circ A(P)\circ g(m)\,,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXbDAe9aQVracGCo6qSRiNi4i-xFQEPK1prfZqGkVXoSB_bMq8XkuKxX3wJZYyShsH94rLydofqSlKy-MKeSzTTIxdGNlEKiRi7lLlcndWK6pjQzXIBMlOFoFVo9E2PCt9BjyF73suC3BX/s1600/Untitled+Diagram.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXbDAe9aQVracGCo6qSRiNi4i-xFQEPK1prfZqGkVXoSB_bMq8XkuKxX3wJZYyShsH94rLydofqSlKy-MKeSzTTIxdGNlEKiRi7lLlcndWK6pjQzXIBMlOFoFVo9E2PCt9BjyF73suC3BX/s1600/Untitled+Diagram.png" height="128" width="640" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Cuando $G=\mathbb{Z}_{pq}$ tenemos el caso de encriptación RSA. Al considerar $G$ como puntos en una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%ADptica" target="_blank">curva elíptica</a>, se obtiene la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Criptograf%C3%ADa_de_curva_el%C3%ADptica" target="_blank">criptografia de curva elíptica</a>, y así con cualquier grupo $G$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Siguiendo la misma idea, es posible considerar criptografía con matrices, nudos, simetrías, cohomologías y cualquier grupo que se pueda imaginar. <a href="http://math.stackexchange.com/questions/362446/nice-examples-of-groups-which-are-not-obviously-groups" target="_blank">Acá</a> hay una lista de grupos no tradicionales con los cuales sería posible realizar criptosistemas. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><br /></i>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-28827830873141596502015-04-13T15:51:00.000-07:002015-04-13T15:56:24.795-07:004=2 right?Long time ago I was intrigued by a particular equation that I found in my Real Analysis book. It was not the traditional equation of a complicated polynomial expression equal to a number, rather it involved the idea of having a never ending expression:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$x^{x^{x^{\dots}}}=2$$</div>
<br />
I think the first challenge is to understand what the infinite exponents really mean. Actually, understanding that is the ket to find the solution of the equation.<br />
<br />
It is surprising that such a weird looking expression has a very nice solution: $x=\sqrt{2}$.<br />
<br />
As I said before, the mystery disappears when we actually understand what the equations really mean. In order to define an infinite exponential, we must use the language of limits.<br />
<br />
First, lets define the sequence $a_n$ as follows:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$a_1=x\,,$$</div>
<div style="text-align: center;">
$$a_n=x^{a_{n-1}}\,.$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Then, the equation really means to have<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\lim_{n\to\infty}a_n=2\,.$$</div>
<br />
Notice that defining the recurrence equation in the opposite order leads just to $a_n=x^{x^n}$.<br />
<br />
Hence, if we know that the limit of the sequence is 2, we should have then<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$2=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}x^{a_{n-1}}=x^2\,,$$</div>
<br />
which gives the desired solution.<br />
<br />
We can notice that there was noting special about 2, thus we are able to reproduce this argument for any initial value, that is, if<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$x^{x^{x^{\dots}}}=r\,,$$</div>
<br />
then this will have solution $$x=r^{1/r}$$.<br />
<br />
<br />
Now, an interesting fact happens when we play a bit with this reasoning and consider the cases $r=2$ and $r=4$. The solution for $r=2$ as discussed above, is $x=\sqrt{2}$, and the solution for $r=4$ is $x=4^{1/4}=\sqrt{2}$... it seems we just proved that $2=4$.<br />
<br />
If you pay close attention to this argument, we didn't divide by zero, like most of the mundane "proofs" that $1=0$ that you can find on the internet. We didn't take any wrong step, everything is well defined, everything exists, or does it?<br />
<br />
<br />
We can pose this question in a slightly different manner, we have the equation<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$g(x)=r\,,$$<br />
<br /></div>
and we solved it by finding the inverse of $g$ to be<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$x=f(r)=r^{1/r}\,.$$</div>
<br />
Going back to our basics in set theory (or precalculus), we know that a function has an inverse where it is <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Bijection" target="_blank">bijective</a>, so $f^{-1}=g$ or $g^{-1}=f$ only when these functions are bijective. Here is the graph of $f(r)$,<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLJv1Am9EHTERLjeEXY9jHSoj8grrxMq1r4S6OaSbD7hwG42HyrzMV4tKgr60mrODvskjuYgWXQpF17WyHBJVQPgkgncM79-_ySjezk_2v0hsKt9CvY5LWua5PZsUfhcEJwSjqa-Nshyi0/s1600/MSP12101ebc0f9ff752d9fe000014iad3dd11e2edc2.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLJv1Am9EHTERLjeEXY9jHSoj8grrxMq1r4S6OaSbD7hwG42HyrzMV4tKgr60mrODvskjuYgWXQpF17WyHBJVQPgkgncM79-_ySjezk_2v0hsKt9CvY5LWua5PZsUfhcEJwSjqa-Nshyi0/s1600/MSP12101ebc0f9ff752d9fe000014iad3dd11e2edc2.gif" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSmAkgWc6ALYIG4_3v8cmlurkUROcRjMKk2KaSneWfA5oDmP41Iy23vdN_adnpDxHLaFC-xFI9DbErLS2BO13SjGGU6sTyBN7yCv-sL75fi3KMPqLgnXiFJ2z9m6LK92-BDcuIX5pWWaXj/s1600/MSP607322731f6gah95406a000052g1dfcfe1ce55b5.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSmAkgWc6ALYIG4_3v8cmlurkUROcRjMKk2KaSneWfA5oDmP41Iy23vdN_adnpDxHLaFC-xFI9DbErLS2BO13SjGGU6sTyBN7yCv-sL75fi3KMPqLgnXiFJ2z9m6LK92-BDcuIX5pWWaXj/s1600/MSP607322731f6gah95406a000052g1dfcfe1ce55b5.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
when $r$ goes to infinity, the graph keeps decreasing, with horizontal asymptote 1.<br />
<br />
I graphed $f(r)$ since it is easier to look at this rather than plotting $g(x)$ (the computer would have hated me), but I remember that in my precalculus years, they told me that the graph of an inverse is really the reflection with respect to the line $y=x$, so we do have the graph of $g(x)$<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjcuMEy1XY8o7zaTwYYCZp60ax27y_FEzXLV7cwQn9F_WbyLKfTD1DttEHQdX-81pr03syDqZtdjzBWbzSt8aP3szUiW3p-JnlId7_D7ZvZL8h6v_3_V8OihXmtFosOx8vsP9hvdjLVyTD/s1600/MSP12101ebc0f9ff752d9fe000014iad3dd11e2edc2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjcuMEy1XY8o7zaTwYYCZp60ax27y_FEzXLV7cwQn9F_WbyLKfTD1DttEHQdX-81pr03syDqZtdjzBWbzSt8aP3szUiW3p-JnlId7_D7ZvZL8h6v_3_V8OihXmtFosOx8vsP9hvdjLVyTD/s1600/MSP12101ebc0f9ff752d9fe000014iad3dd11e2edc2.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Therefore we can see that the function $g(x)$ is actually a function up to the tip of the "nose", which is the maximum of $f(r)$. Using the first derivative test on $f(r)$ we have that this happens for $r=e$ and $x=e^{1/e}$. This means that $g(x)=r$ does not have any solutions for $r<e as="" e="" f="" image="" is="" of="" p="" the=""></e></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hence out false proof has a more elegant reason for failing: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function" target="_blank">injectivity</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-14901772270577303762015-03-30T20:13:00.002-07:002015-03-30T20:28:25.440-07:00Sumas de potencias con CauchyViendo mi TL en Twitter, me encontré con un resultado de matemática discreta que es un ejemplo clásico:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\sum_{i=1}^ni^3=\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2\,.$$</div>
<br />
Recuerdo la primer vez que vi esto. Me pareció muy interesante el hecho de que las sumas cubos fuera simplemente el cuadrado de la suma de naturales. Este resultado se conoce como el <a href="https://ztfnews.wordpress.com/2015/01/03/el-teorema-de-nicomaco/" target="_blank">Teorema de Nicómaco</a>.<br />
<br />
Para tratar de mostrar esto, se pueden definir las funciones generatrices de las sumas de potencias, con lo que aparecen polinomios de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Faulhaber" target="_blank">Bernoulli y Polinomios de Faulhaber</a>, sin embargo, otra manera de describir estas sumas de potencias es por medio del análisis complejo.<br />
<br />
Podemos analizar la función<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$f_0(z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{i=0}^\infty z^i\,,$$</div>
<br />
dentro del círculo unidad. Definamos $f_n$ de manera recursiva como<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$f_n(z)=z f_{n-1}'(z)\,.$$</div>
<br />
$f_n(z)$ es la función generatriz de las $n$-potencias. Entonces tenemos que si $s_n^k$ es la suma de las primeras $k$ potencias de grado $n$, $s_n^k$ es la suma de los primeros $k$ coeficientes de $f_n(z)$. Estos los podemos recobrar utilizando el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_residuos" target="_blank">teorema del residuo de Cauchy</a>,<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$s_n^k=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f_n(z)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\dots+\frac{1}{z^{k+1}}\right)\,dz$$</div>
<div style="text-align: center;">
$$=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f_n(z)\left(\frac{1-\frac{1}{z^{k+1}}}{z-1}\right)\,dz\,.$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Para evaluar la integral anterior, debemos considerar $\gamma$ como un contorno al rededor de $z=0$ que esté estrictamente contenido dentro del círculo unidad.<br />
<br />
Al calcular las funciones $f_n$ se obtienen los <a href="http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers,_triangle_of" target="_blank">Números Eulerianos</a>, los cuales obedecen una ecuación de recurrencia al estilo del triángulo de Pascal. No es difícil de observar que $f_n(z)$ será una función racional cuyo denominador es $(1-z)^{n+1}$. Por lo tanto, es posible escribir<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$f_n(z)=\frac{g_n(z)}{(z-1)^{n+1}}\,,$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
donde $g_n$ es un polinomio cuyos coeficientes son los números Eulerianos. Por lo tanto tenemos que las sumas de potencias pueden escribirse como<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$s_n^k=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{g_n(z)\left(1-\frac{1}{z^{k+1}}\right)}{(z-1)^{k+2}}\,dz\,.$$</div>
<br />
Con esta representación, es posible utilizar la <a href="http://www.matap.uma.es/~jjsaame/vca2006-07_archivos/restema5.pdf" target="_blank">fórmula integral de Cauchy</a> para reescribir esta expresión como una derivada,<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$s_n^k=-\frac{1}{(k+1)!}\frac{d^{k+1}}{dz^{k+1}}g_n(z)\left(1-\frac{1}{z^{k+1}}\right)\Big|_{z=1}\,,$$</div>
<br />
<br />
Donde el signo menos viene de tomar el punto $z=1$ como interior a $\gamma$ al orientar la curva en sentido negativo.<br />
<br />
Sustituyendo $n=1$ y $n=3$ se obtiene de forma inmediata el Teorema de Nicómaco.<br />
<br />
<br />Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-5707835071432573442015-01-26T22:23:00.000-08:002015-01-26T22:23:01.462-08:00Vinyls and Fourier seriesSome time ago, I was talking with one of my friends about music and how vinyls are becoming popular again.<br />
<br />
Vinyls kinda went away due to the large capacity of CDs and the increasing use of digital files, but audio enthusiasts still prefer vinyl due to <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/High_fidelity" target="_blank">fidelity</a>. <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.centerpointaudio.com/Images/Analog-Digital%20frequency%20examples.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.centerpointaudio.com/Images/Analog-Digital%20frequency%20examples.png" height="195" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The main difference is that vinyls use analog or <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function" target="_blank">continuous</a> functions, as opposed to digital signals which have only a finite number of different states. With sound, this difference becomes more obvious depending on the <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Quantization_(signal_processing)" target="_blank">sampling rate (or bit rate)</a> of the digital signal, which basically is the length of the constant pulse. Here, having a low bit rate will make the output speaker signal to be different from the original sound, potentially loosing some part of the <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_spectrum" target="_blank">spectrum</a> of the original signal.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/IkmYizbO8HGKf01rnAeLsVk0heMgUDytaMnk5NdWmjBXqJo2gdCikZKw6_jjux8Bd_A=h900" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/IkmYizbO8HGKf01rnAeLsVk0heMgUDytaMnk5NdWmjBXqJo2gdCikZKw6_jjux8Bd_A=h900" height="180" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Digital files, specially compressed files like mp3, aac, wma, etc. lose this information basically by truncating the <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform" target="_blank">Fourier transform</a> of the original signal. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
This loss of quality had made many people to return to the good old vinyls. These do not introduce any analog-to-digital type of loss, nor truncated spectrum. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
One thing quickly came to my mind, <i>what about stereo?</i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Vinyls basically give you a function $f(t)$, so how is it possible to get stereo out of this? The trick is quite simple, and it goes back to the original mechanism of how vinyls work.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The reader is a needle that moves up or down depending on the sound, that is $f(t)$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
is the vertical position of the needle. Then this profile function gets wrapped into a spiral, making the disc shape of a vinyl. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
But an improvement can be made to encode two signals into the devise. If you have a stereo sound made up of two functions $L(t)$ and $R(t)$, then you can set the vertical direction to be</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$y(t)=L(t)+R(t)$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
and the horizontal deflection to be </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$x(t)=L(t)-R(t)$$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
In this fashion, it is possible to encode two signals (stereo) into vinyls, having the groove to be given by the vector </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$g(t)=(x(t),y(t))$$.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Notice that this is the most we can do, as the two signals are taking 2 dimensions and time itself is represented as the third dimension (the length of the groove). So I was thinking, <i>how about Dolby Surround? </i>Can there be a simple solution that doesn't require to sync two turn tables?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
The immediate answer is to use 3 needles instead of one. Dolby 5.1 is made up of 6 sound signals:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li>Front left</li>
<li>Front right</li>
<li>Rear left</li>
<li>Rear right</li>
<li>Center</li>
<li>Bass</li>
</ul>
<div>
Usually the bass is obtained out of the other 5, hence people doesn't really count it as a 6th signal. Using 3 needles and 3 encoding vectors $(x_1(t),y_1(t))\,, (x_2(t),y_2(t))\,, (x_3(t),y_3(t)) $ it is possible to achieve analog Dolby surround. This would be the equivalent of having 3 turntables in sync. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
But what if we wanted more channels? We could add more and more vectors, but another way of doing this would be to consider a profile function instead of individual vectors. That is, let </div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$y(x,t)$$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Here we can take $x$ to be an independent variable, where $-w\leq x\leq w$. For this, we can encode several signals $\{f_n(t)\}_{n=1}^N$ as</div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$y(x,t_0)=\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sqrt{w}}f_n(t_0)\cos\left(\frac{n\pi}{w}x\right)$$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
The idea is to use Fourier series as a way to expand the idea of using a vector space to put the information in vector form. By doing this, we avoid the need of using more and more spacial vectors to represent the signals, but put the information in a profile function.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
Then, for each $t_0$, $y(x,t_0)$ encodes $N$ numbers which can be recovered by performing the infer product with the desired channel</div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$\langle y(x,t_0), \phi_n(x)\rangle=\int_{-w}^w y(x,t_0) \phi_n(x)\, dx$$</div>
<div>
<br /></div>
<div>
with </div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{w}}\cos\left(\frac{n\pi}{w}x\right)$$.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
With this procedure, it is possible to encode any countable number of signals into a vinyl, just probably restricted up to the boundedness of the functions. </div>
<div>
<br /></div>
<div>
In practice, this solution can be a little troublesome since it needs a continuous transducer in the transverse direction, which can be very difficult to achieve without relying on some kind of quantization.</div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-31855014908088580582014-12-12T18:46:00.000-08:002014-12-12T18:46:34.878-08:00Series infinitas y ritmos musicalesHace unos días veíamos propiedades de convergencia de series en mi clase de cálculo dos y algunos alumnos comenzaron a preguntar y mencionar sobre series divergentes. Hay un par de videos famosos sobre $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n=\frac{1}{2}$$ y $$\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}$$.<br />
<br />
Al pensar sobre estas, se me estaba ocurriendo que tipo de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Regularizaci%C3%B3n_(f%C3%ADsica)" target="_blank">regularizaciones</a> pudieran hacerse codificando ritmos musicales como series infinitas.<br />
<br />
Por ejemplo, el ritmo de rock and roll clásico puede realizarse con <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Bombo" target="_blank">bombos</a> en los tiempos 1 y 3 y <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Caja_%28instrumento_musical%29" target="_blank">caja</a> en los tiempos 2 y 4.<br />
<br />
Si codificamos un golpe de caja con un +1 y un golpe de bombo con -1, tendríamos que el ritmo de rock and roll estaría dado por<br />
<br />
$$1-1+1-1+1-1+1-1+\dots$$<br />
<br />
Esta serie se conoce como la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Grandi" target="_blank">serie de Grandi </a>y es una serie divergente. Sin embargo, es posible regularizarla y otorgarle un valor numérico,<br />
<br />
$$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n=\frac{1}{2}\,.$$<br />
<br />
Ahora bien, regularizar una serie no significa que la serie <i>sea igual a</i> dicho valor, sino que significa que es posible hacerle corresponder un valor real a la serie de tal manera que ciertas propiedades de series sean satisfechas.<br />
<br />
La mayoría de las regularizaciones de series vienen dadas dentro de un contexto físico, y en nuestro caso, de un patrón rítmico. El resultado asignado de $1/2$ puede interpretarse como que del total del ritmo, la mitad del tiempo se toca la caja y la otra mitad se toca el bombo.<br />
<br />
Si por ejemplo vemos otro ritmo como el vals, este se representa en 3 tiempos, donde el 1 es el bombo y la caja se toca en el 2 y 3. Con nuestra codificación, el ritmo de vals se representa por medio de la serie<br />
<br />
$$-1+1+1-1+1+1-1+1+1-1+1+1-\dots$$<br />
<br />
Esta serie, al igual que la anterior diverge, pero al contrario de la primera, no es una serie tan famosa, por lo que es necesario trabajarla un poco para poder encontrar su valor de regularización.<br />
<br />
Usualmente, el truco para regularizar una serie<br />
$$\sum_{n=0}^\infty a_n$$<br />
es agarrarla sucesión $\{a_n\}$ y construir una función analítica $f(x)$ basada en la sucesión. Luego se busca una representación en forma cerrada de $f(x)$ y se reemplaza el valor de $x$ que regularice la suma. Usualmente es común analizar <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora" target="_blank">funciones generatrices</a> del tipo<br />
<br />
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\,,$$<br />
<br />
o bien, <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_L_de_Dirichlet" target="_blank">funciones L (funciones zeta)</a> del tipo<br />
<br />
$$g(s)=\sum_{n=0}^\infty a_nn^s\,.$$<br />
<br />
En este caso, nuestra sucesión está dada por $$a_{n+1}=1-a_{n}-a_{n-1}, \qquad a_0=-1, a_1=1$$<br />
<br />
Cuya <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%28n%2B1%29%3D1-a%28n%29-a%28n-1%29%2C+a%280%29%3D-1%2C+a%281%29%3D1" target="_blank">solución</a> general está dada por $$a_n=\frac{1}{3}\left(1-4\cos(2\pi n/3)\right)\,.$$<br />
<br />
Teniendo el término general de la sucesión, es posible obtener la continuación analítica de $g(s)$, y nuestro valor deseado ocurre para $s=0$,<br />
<br />
$$g(0)=-\frac{5}{6}$$.<br />
<br />
Por ejemplo, para otros ritmos<br />
<br />
$$<br />
\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}}\begin{array}{l|c|c}<br />
\text{Ritmo} & \text{patrón} & \text{valor de la serie}\\<br />
\hline<br />
\text{Blues} & -1+0+0+1+0+0 & -\frac{1}{2}\\<br />\hline<br />
\text{Funk} & -1+0+1-1+0-1+1+0 & -\frac{7}{8}\\<br />
\hline<br />
\text{DnB} & -1+0+1+0+0-1+1+0 & -\frac{3}{8}\\<br />
\hline<br />
\end{array}$$<br />
<br />
donde -1 representa el bombo, +1 la caja y 0 un tiempo no acentuado.Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-71214238286675058602014-09-01T21:41:00.002-07:002014-09-01T21:51:11.779-07:00Lights out and Matrices over Z_2<div style="text-align: justify;">
A couple days ago, one of my friends challenged me to solve a riddle posted by spanish newspaper <a href="http://sociedad.elpais.com/sociedad/2014/08/28/videos/1409217029_700583.html" target="_blank">El País</a>. The riddle consisted in explaining why in a 24x24 board, there are impossible configurations of the game <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Lights_Out_(game)" target="_blank">Lights Out</a> (you can play it <a href="http://www.neok12.com/games/lights-out/lights-out.htm" target="_blank">here</a>)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH5_ioU2thdPPKLpUm_w3cIFwtB3WIsFqmDj60TYWWrggoB1pzaBH8TeM4Ms5Vj7vQ2ukoGSd9WOQaVmsbThhgEd7h0BF13fGsMuecNwHaTSz3eHammixDXO7meBmTtpwitThbQocFY_Ml/s1600/800px-LightsOutIllustration.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH5_ioU2thdPPKLpUm_w3cIFwtB3WIsFqmDj60TYWWrggoB1pzaBH8TeM4Ms5Vj7vQ2ukoGSd9WOQaVmsbThhgEd7h0BF13fGsMuecNwHaTSz3eHammixDXO7meBmTtpwitThbQocFY_Ml/s1600/800px-LightsOutIllustration.svg.png" height="100" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
It had two parts:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">the first one was to find an impossible configuration, that is, a configuration of lit squares on the board that was impossible to reach starting from a dark board (equivalently, a starting configuration for which you can't turn the lights out).</li>
<li style="text-align: justify;">the second was to show that at least half of the possible configurations on the board are impossible. </li>
</ul>
<div>
<div style="text-align: justify;">
The first part requires a bit of trial and error, but one can find it. The second part obviously implies the first, and also is more interesting. </div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
One trick to attack the problem is to think about it in the general case, on a $n\times n$ board. You quickly realize that the $1\times 1$, $2\times 2$, and $3\times 3$ have no impossible configurations, that is, you can reach any configuration starting from a dark board.</div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwpfSbcvAMWGMYXEXr2pZmql1OOgngjHSeWf-Bsoj-z_ZQAjcvOeJfws664vLnNCfQ1oTEjhjpxVBhzCtVWdBw8mSeV8C9N56_Rn7ET1uLrNsc8riVlZEnx8NZ6XiL20gwnXzMeRHBBrLp/s1600/html5-game-play-lights-out.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwpfSbcvAMWGMYXEXr2pZmql1OOgngjHSeWf-Bsoj-z_ZQAjcvOeJfws664vLnNCfQ1oTEjhjpxVBhzCtVWdBw8mSeV8C9N56_Rn7ET1uLrNsc8riVlZEnx8NZ6XiL20gwnXzMeRHBBrLp/s1600/html5-game-play-lights-out.png" /></a></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Why is 24 so special then? First of all, notice that since the squares only have two states (on or off), the only thing that determines the state of a square is the parity of the number of times that it has been pushed. More over, we can reduce this to either 0 or 1.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnWUSWbIxiECj02LoXA0o-b6avqVOl9RSBBZj7yBPQWI5bQO66X_-DVex2ZfZPl-QH1aSQ4rJRDvLtxfvne9d5mvgJ5n8MVMaacPFaBaODTRnf6DyXEWx8Vft0G30t2ToRS2BE1zw7Oi3B/s1600/Screen+Shot+2014-09-01+at+10.59.29+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnWUSWbIxiECj02LoXA0o-b6avqVOl9RSBBZj7yBPQWI5bQO66X_-DVex2ZfZPl-QH1aSQ4rJRDvLtxfvne9d5mvgJ5n8MVMaacPFaBaODTRnf6DyXEWx8Vft0G30t2ToRS2BE1zw7Oi3B/s1600/Screen+Shot+2014-09-01+at+10.59.29+PM.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Checking the above set up, one can see that pressing the squares with 1's, we end up with a dark board when $n=4$. Hence, there are two different pushing patterns (this and all 0's) which lead to a dark board. This means that every possible configuration of lights can be achieve at least twice with different pushing patterns (adding the above pushing pattern to any other will make to end up with the same light configuration).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Thus the $4\times 4$ case is the first one to have impossible configurations, and actually, at most half of the possible light configurations are possible.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
It is not difficult to see that this pattern can be used to treat bigger boards.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihyphenhyphend5XF9zHWj_7acUJA7yuz6xy2XR-HPNRX6G9H0ZkyW2i_asDsUB1uwuwfW4kia4qKXuIp6tBnNJ11fpF4CJW8nDdzmumUsPJ8F4HG-LF48H3qwljFZp77Q8YsLjALeJqvVD6KFBTVqsK/s1600/Screen+Shot+2014-09-01+at+11.10.06+PM.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihyphenhyphend5XF9zHWj_7acUJA7yuz6xy2XR-HPNRX6G9H0ZkyW2i_asDsUB1uwuwfW4kia4qKXuIp6tBnNJ11fpF4CJW8nDdzmumUsPJ8F4HG-LF48H3qwljFZp77Q8YsLjALeJqvVD6KFBTVqsK/s1600/Screen+Shot+2014-09-01+at+11.10.06+PM.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
For example, the above configuration with lead to a dark $9\times 9$ board. In general, this is possible for $n=5k+4$. Therefore $n=24$ will have the same behavior.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Now, this whole thing smells a lot like linear transformations of vector spaces. And indeed, a nice way to attack the problem is using this language.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Let $p=(p_1,p_2,\dots, p_{n\times n})$ (yes, $n\times n$) be the vector of pushing parity for an $n\times n$ board, were we read the pattern right to left, top to bottom. Thus the dark pushing pattern for the $4\times 4$ is</div>
<div style="text-align: justify;">
$$p=(0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0).$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Let $A$ be the $n^2 \times n^2$ matrix that gives the light configuration obtained by the $p$ pushing pattern, i.e. $(Ap)^T$ is a vector giving the state of a square (on or off). We use the same convention for reading out this vector.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Hence, a number $n$ will lead to impossible configurations if and only if $A$ is non-invertible. To be more rigorous, we have the following:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$V$ is the vector space $(\mathbb{Z}_2)^{n^2}$ with $\mod 2$ addition, and $A$ is the matrix from $V$ to $V$ containing the rules of the game.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
This matrix can be written in block form as the symmetric <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Tridiagonal_matrix" target="_blank">tridiagonal matrix</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$A=\begin{pmatrix}B & I_n & 0 & \cdots & 0\\ I_n & B & I_n & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & B\end{pmatrix}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
with $I_n$ the $n\times n$ identity matrix and $B=I_n+U_n+L_n$, where $L_n,U_n$ are the lower and upper <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Shift_matrix" target="_blank">shift matrices</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Therefore, there are impossible configurations if and only if $\det (A)=0$. Since $B, I_n$ commute with each other, we can calculate the determinant in block form.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Here is a list of the first few determinants</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
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<tr style="mso-yfti-irow: 1;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
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<tr style="mso-yfti-irow: 2;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 292.5pt;" valign="top" width="293"><div class="MsoNormal">
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<tr style="mso-yfti-irow: 3;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">3<o:p></o:p></span></div>
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 292.5pt;" valign="top" width="293"><div class="MsoNormal">
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
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</td>
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<tr style="mso-yfti-irow: 4;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 292.5pt;" valign="top" width="293"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-bidi-font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">B^4 - 3*B^2 + I</span><span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;"><o:p></o:p></span></div>
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
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</td>
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<tr style="mso-yfti-irow: 5;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
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<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-bidi-font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">B^5 - 4*B^3 +
3*B</span><span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;"><o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">0<o:p></o:p></span></div>
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<tr style="mso-yfti-irow: 6;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">6<o:p></o:p></span></div>
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 292.5pt;" valign="top" width="293"><div class="MsoNormal" style="margin-left: -.05in; text-indent: .05in;">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-bidi-font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">B^6 - 5*B^4 + 6*B^2 – I</span><span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;"><o:p></o:p></span></div>
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<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">2197=1<o:p></o:p></span></div>
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<tr style="mso-yfti-irow: 7;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">7<o:p></o:p></span></div>
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<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-bidi-font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">B^7 - 6*B^5 +
10*B^3 - 4*B</span><span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;"><o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-bidi-font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">-34391=1</span><span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;"><o:p></o:p></span></div>
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<tr style="mso-yfti-irow: 8;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">8<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 292.5pt;" valign="top" width="293"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">B^8 - 7*B^6 + 15*B^4 - 10*B^2 + I<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">-4002939=1<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 9; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 18.9pt;" valign="top" width="19"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">9<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 292.5pt;" valign="top" width="293"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-bidi-font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">B^9 - 8*B^7 + 21*B^5
- 20*B^3 + 5*B</span><span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;"><o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0in 5.4pt 0in 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="99"><div class="MsoNormal">
<span style="color: #17365d; font-family: Courier; mso-themecolor: text2; mso-themeshade: 191;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Notice that the coefficients of the block polynomials are Pascal's triangle's. </div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Hence, we can see that (as expected) $n=9$ gives impossible configurations, however the unexpected $n=5$ appears, so another set of values for $n$ will lead to impossible configurations $n=6k+5$. </div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
A good question would be to find all such possible $n$ leading to impossible configurations, but that might be a task for another time. </div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Lastly, in order to solve the game for any of the possible $n$'s, the only thing needed is to compute $A^{-1}$ and apply it to the configuration, obtaining the pushing pattern. </div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1487890218118370606.post-76402901321311048622014-08-18T23:55:00.001-07:002014-08-19T00:03:46.410-07:00El tráfico: caos, fractales y fluídos.<div style="text-align: justify;">
El tráfico siempre me hace pensar. A veces cosas buenas, cuando voy en carretera, y a veces no tan buenas cuando hay un carro atravesado en un semáforo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Siempre me ha parecido un tema interesante de analizar, y por supuesto, de querer modelar. Modelar algo significa entenderlo, analizarlo, pensar como piensa el fenómeno. Como dijo <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman" target="_blank">Richard Feymann</a>, "<i>lo que no puedo crear, no lo entiendo".</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div style="text-align: justify;">
Entender el tráfico es una tarea muy difícil, pues intervienen muchos factores tanto físicos como psicológicos, al final de cuentas son seres humanos los que conducen (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Autom%C3%B3vil_sin_conductor_de_Google" target="_blank">por el momento</a>).</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhOSLnVF2kQK-huOHJ1RF0FlZg06spjhHFGCn8hkEt76LGl-7wcw1Shlv3s8alp3gbENv9knRn5pf6pM101h8fznb0wSjb7z5Zs0aUOpO2Y1uozX8aJH9orxTIdQmsQiq9LqrfquAeEAa9/s1600/traffic.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhOSLnVF2kQK-huOHJ1RF0FlZg06spjhHFGCn8hkEt76LGl-7wcw1Shlv3s8alp3gbENv9knRn5pf6pM101h8fznb0wSjb7z5Zs0aUOpO2Y1uozX8aJH9orxTIdQmsQiq9LqrfquAeEAa9/s1600/traffic.jpg" height="210" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El tráfico es caótico. Y no solo por como coloquialmente le decimos, sino que también es <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos" target="_blank">matemáticamente caótico</a>. En pocas palabras, un sistema es caótico si pequeños cambios iniciales desencadenan grandes <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_mariposa" target="_blank">cambios posteriores</a>. En algunas ciudades esto se logra apreciar desde el diseño mismo de las vías, en donde un cruce incorrecto a la derecha, le puede hacer perder a uno hasta media hora. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Así mismo, al tomar al tiempo como variable, muchas veces se tiene un sistema caótico. A veces salir 5 minutos más temprano es la diferencia de llegar una hora tarde o no a algún lugar. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhapXVMcMuEKLmaw1GI4NJkgrjFtNP975HmLmbPJfxIc4QX27eyySh1U9XdJ6uwUBCGiWZ2ESIcbKQfa3318vAjSjPvHNGXJacWQ-fMSQJJJkaLTdQs2B-LBxhcwfIYJVE14-uyJyZ89ugy/s1600/sin.sin.2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhapXVMcMuEKLmaw1GI4NJkgrjFtNP975HmLmbPJfxIc4QX27eyySh1U9XdJ6uwUBCGiWZ2ESIcbKQfa3318vAjSjPvHNGXJacWQ-fMSQJJJkaLTdQs2B-LBxhcwfIYJVE14-uyJyZ89ugy/s1600/sin.sin.2.gif" height="223" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Tanto espacialmente, como temporalmente, el tráfico es un sistema caótico, por lo que <a href="http://lmgtfy.com/?q=fractals+highway+traffic" target="_blank">patrones fractales</a> comienzan a emerger. Se puede analizar el tráfico considerando principalmente dos funciones </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^+$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
donde $f$ mide cuando se tarda en llegar a un lugar dado dependiendo de la posición de salida, y $g$ mide cuanto se tarda en llegar a un lugar dado dependiendo de la hora de salida de un lugar fijo.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
En estos dos casos simples, $f$ y $g$ son sensibles a grandes cambios debido a pequeñas perturbaciones en el dominio. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjetHRWWO-4NVD89vFneoVShBKAikNqLZcG48DlVSD390JGazx1vJqCGdV61FqDfjz2F87e2vuWzMd-m1R3QLC3uU9wk-9i9Kbb02ygLWd16I29l-Srppi6a3KB5zsAYR2YTMnHl_9HWaZ5/s1600/NightTraffic_4cm.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjetHRWWO-4NVD89vFneoVShBKAikNqLZcG48DlVSD390JGazx1vJqCGdV61FqDfjz2F87e2vuWzMd-m1R3QLC3uU9wk-9i9Kbb02ygLWd16I29l-Srppi6a3KB5zsAYR2YTMnHl_9HWaZ5/s1600/NightTraffic_4cm.jpg" height="213" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Otra manera de analizar el tráfico es de manera continua, como un flujo. A veces es posible aproximar sistemas discretos por medio de sistemas continuos para simplificar el análisis. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1ffMcflsJW13wlbXIgY42IkgUbn82V2W3HZCBv8WQP9y-Fa8DeuprI68TMHIUP9VUggvcM2qhQdDM8BR4H_XizIPCYKhZKf3uikbCTAZmZiT1hLqdXjSvxtJTIcy17-unPcH6MbNm6pIM/s1600/TEO001.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1ffMcflsJW13wlbXIgY42IkgUbn82V2W3HZCBv8WQP9y-Fa8DeuprI68TMHIUP9VUggvcM2qhQdDM8BR4H_XizIPCYKhZKf3uikbCTAZmZiT1hLqdXjSvxtJTIcy17-unPcH6MbNm6pIM/s1600/TEO001.gif" height="177" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Por ejemplo, ¿qué pasa si una parte de la carretera se reduce de dos a un carril? Desde el punto de vista de un. flujo, se puede obtener una aproximación del tráfico utilizando la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_en_tuber%C3%ADa#La_ecuaci.C3.B3n_de_continuidad" target="_blank">ecuación de continuidad</a>:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$2V_1=V_2$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
y el tráfico irá a la mitad de la velocidad en la sección de dos carriles. ¿Qué pasaría si se aumentan a 4 los carriles de la primera sección? Ahora se tendría que la velocidad $V_1'$ es 4 veces más lenta que $V_2$. Pero ¿cómo se compara el tiempo de recorrido en estos escenarios?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Supongamos que el trayecto total mide 1 y que el cambio de numero de carriles pasa en 1/2. Entonces con solo un carril, el trayecto duraría </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$t=\frac{1}{V_2},$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
con el cambio de 2 a 1 carril, el tiempo total es de </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{1/2}{V_1}+\frac{1/2}{V_2}=\frac{1}{V_2}+\frac{1}{2V_2}=\frac{3}{2}t,$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
y con el cambio de 4 a 1</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
$$\frac{1/2}{V_1'}+\frac{1/2}{V_2}=\frac{2}{V_2}+\frac{1}{2V_2}=\frac{5}{2}t.$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Esto significa que entre más carriles una conexión tenga, si la velocidad en la sección 2 es constante, más tardado es el trayecto total. Para aumentar la velocidad del flujo vehicular, se debe aumentar la velocidad de las salidas y disminuir el número de carriles.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVHl6zb9r_BgC21V22VN4YoZKLECd0fIG_b49Hil1sOkj-04TzU4KTszZzUBimXg_uEpc665sCndnxsXbVBsZOuhbweCplEgsIwwtwhy8CieiTMDwDktouRq7P0p0ryZ2YFOqNOd6sXODo/s1600/Fisher_Kolmogorov_pde_traveling_wave_solution_Maple_animation.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVHl6zb9r_BgC21V22VN4YoZKLECd0fIG_b49Hil1sOkj-04TzU4KTszZzUBimXg_uEpc665sCndnxsXbVBsZOuhbweCplEgsIwwtwhy8CieiTMDwDktouRq7P0p0ryZ2YFOqNOd6sXODo/s1600/Fisher_Kolmogorov_pde_traveling_wave_solution_Maple_animation.gif" height="320" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Un análisis mas completo del flujo del tráfico se logra por medio de la <a href="http://scientiapotentiaest.ambages.es/?tag=ecuacion-de-burgers" target="_blank">ecuación de Burgers</a>. Acá se modela al tráfico como un flujo incompresible. Con esta ecuación se toma la interacción entre vehículos, es decir, el factor psicológico entre los conductores. Una causante del tráfico es la reacción en cadena que los conductores realizan al frenar. Es el mismo efecto que se observa cuando un semáforo marca a verde. Hay un desfase entre el cambio del semáforo y comenzar a andar en el carro. Esto es debido al tiempo de reacción de los conductores y los que lo preceden en la cola. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
De igual manera ocurre cuando se frena en la carretera, los conductores que vienen detrás experimentan ese mismo tipo de reacción, similar al de un fluido viscoso. Es por eso que la ecuación de Burgers representa una manera eficiente de modelar el flujo del tráfico.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
¡Se pueden pensar cosas interesantes en el tráfico!</div>
Unknownnoreply@blogger.com0