Thursday, October 15, 2009

Posible vs Probable

Hace unos días discutí con mi amigo Andrés sobre el post de como calcular la probabilidad de obtener un triángulo al partir un palillo en 3 trocitos. Él me preguntaba que pasaría si decidiéramos imponer la restricción que el triángulo obtenido fuera equilátero o isóceles.

Obviamente, dichos casos son posibles, sin embargo al calcular la probabilidad de ocurrencia, esta es cero.

Por ejemplo, en el caso de un triángulo equilátero, existe solamente una manera de obtener dicha configuración, esto es, cuando los 3 trocitos miden lo mismo. Sin embargo, el número total de posibilidades es infinita, por lo que podríamos decir que la probabilidad de obtener un triángulo equilátero es

$\frac{1}{\infty}=0$

Ahora bien, al calcular el número de triángulos isóceles que pueden ser obtenidos, este es infinito, sin embargo la probabilidad asociada sigue siendo cero. Este fenómeno puede ser explicado si utilizamos una interpretación geométrica de la probabilidad.

Así como vimos anteriormente la probabilidad se obtiene al dividir el área correspondiente a la región que representa los casos deseados sobre el área de los casos totales. En el caso de obtener un triángulo isóceles, el conjunto de casos favorables está dado por las tres rectas

$x=y \quad \cup\quad y=1-2x\quad \cup \quad 2y=1-x$

Puesto que este conjunto es unidimensional, su área es 0, y por lo tanto la probabilidad asociada a los triángulos isóceles es

$\frac{\text{area de las rectas}}{\text{area roja}}=\frac{0}{1/2}=0$

Esto quiere decir que dichos casos son posibles sin embargo no son probables. Pero ¿qué significa que algo sea posible pero no probable?

Matemáticamente, que algo sea posible significa que el conjunto de sucesos deseados en el espacio muestral sea no vacio. Por otra parte, que algo sea probable significa que la probabilidad asociada sea no nula. Resulta un poco dificil de convencerse al principio que esto pueda ocurrir, sin embargo al ver la probabilidad como la medida de un conjunto no suena tan artificial este concepto.

Si se tiene un conjunto $M$ una medida es una función que asigna a una familia de subconjuntos de $M$ un número real no negativo llamado medida. Por ejemplo, en la recta real, la medida mas usual es la de Lebesgue, la cual asigna a cada intervalo $[a,b]$ la medida $b-a$.

Este dilema se reduce a obtener subconjuntos no vacíos en $M$ cuya medida sea 0. El el caso de los reales, conjuntos discretos o conjuntos de cantor son buenos ejemplos de casos posibles mas no probables.

Luego de pensar un poco, no es difícil convencerse que si el espacio muestreal es un subconjunto con dimensión euclideana igual a $n$, cualquier conjunto no vacío con dimensión menor que $n$ será posible pero no probable, como el caso anterior, en el que el espacio muestreal tiene dimensión 2 (triángulo rojo) y el conjunto estudiado tiene dimensión menor, dimensión 1 para el caso de triángulos isóceles y dimensión 0 para el caso del equilátero.

Así, la unica manera de obtener probabilidad no nula es al comparar conjuntos de la misma dimensión, esto en el caso de espacios euclideanos, como fue el resultado en el caso anterior en donde comparamos la medida (área) de ambos conjuntos (triágulo rojo y triángulo azul)

Por lo tanto se puede tener algo posible pero no probable.

1 comment:

  1. solo vos y el andres pueden pensar en eso....

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