Tuesday, April 19, 2016

Segunda ley de termodinámica para los enteros

La entropía es una manera de medir la interacción entre lo pequeño y lo grande. Básicamente calcula el número de maneras en que se pueden obtener las mismas características macroscópicas en un sistema variando las propiedades microscópicas.




Un estado con mayor entropía es un estado altamente incierto, puesto que existen varias maneras de obtener dicho estado a partir de configuraciones y la probabilidad de obtenerlo en cierta configuración es entonces muy reducida. Sin embargo, estados con baja entropía tienen gran cantidad de información, puesto que solamente hay un número reducido de formas de obtener dicho estado, así una configuración en particular es altamente probable de ocurrir.

Es posible utilizar estas ideas con los enteros positivos. Podemos pensar que los micro-estados corresponden a los factores de un número y el macro-estado al número en si. Así el número $3$ tiene solo un micro-estado: $3$, sin embargo el número $12$ tiene $4$ micro-estados: $12$, $2\times 6$, $3\times 4$, $2\times 2\times 3$.

Si un macro-estado tiene $P$ diferentes micro-estados igualmente probables, la entropía asociada se define como

$$S=\ln P\,,$$

de esta manera podemos decir que la entropía de $3$ es $S_3=\ln 1=0$ y $S_{12}=\ln 4\sim 1.39$.


En general, podemos definir la entropía de un número como

$$S_n=\ln k\,,$$

donde $k$ es el número de formas distintas de factorizar $n$. Cuando $n=p$ es un número primo tenemos que $S_p=0$. Acá se puede ver la entropía para los números del 1 al 100 y del 1 al 10,000



Con esto podemos calcular el valor esperado de la entropía de un número.  Para $N$ un natural, sea $m=\max S_n$ para $n\leq N$.  Podemos entonces calcular el valor esperado de la entropía para los números hasta $N$ como

$$\langle S \rangle_N =\sum_{k=1}^N \frac{f_k }{N}\ln k\,,$$

donde $f_k$ es el la cantidad de números $n\leq N$ tales que $S_n=\ln k$. Para valores entre 1 y 100 y para valores entre 1 y 10,000 tenemos que las gráficas del valor esperado de la entropía son




Al principio el valor esperado de la entropía tiende a crecer, sin embargo a partir de $N=8,000$ parece estabilizarse un poco. ¿Pudiéramos tener una segunda ley de termodinámica para los naturales?