Tuesday, October 16, 2012

Matryoshkas y la regla de la cadena

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Hace unos días estaba explicando la regla de la cadena en mi clase de cálculo y al decir una frase se me ocurrió la analogía con las famosas matryoshkas o muñecas rusas:

en la regla de la cadena, uno tiene una función dentro de otra función.... como una matryoshka...


Esta aseveración no tiene nada que ver con la regla de la cadena, mas sería con composición de funciones, sin embargo creo que pudiera ser una bonita manera de recordar algunas de las reglas de derivadas cuando entendemos la acción de derivar por algo un poco más concreto:

Pintar un objeto de un color dado

Esto quiere decir, que podemos asociar el derivar una función con pintar un objeto de un color, digamos, de azul. Por ejemplo, si tengo una muñeca $f(x)$ y la quiero pintar de azul, quedaría $f'(x)$,




Ok, por el momento no parece nada profundo, pero veamos que pasa si tengo dos muñecas. Recordemos que "derivar" significa ahora "pintar UN objeto de azul", esto es, si tengo dos muñecas tengo dos opciones, pinto una o pinto la otra





En otras palabras, si las muñecas son $f(x)$ y $g(x)$, "pintar" $f(x)$ y $g(x)$ es lo mismo que decir 

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right)$,

y el resultado es haber pintado $f(x)$ y no pintar $g(x)$, ó haber pintado $g(x)$ y no pintar $f(x)$, i.e.

$f'(x) g(x)+f(x)g'(x)$.

Acá simplemente hago corresponder las operaciones usuales con operaciones booleanas (o es +, y es x).

De igual manera, la regla de la cadena se obtiene al querer pintar una matryoshka. Si quiero pintarla, debo pintar la muñeca de afuera y la de adentro,



Esto es, pinto $f(g(x))$ (la matryoshka de afuera), y pinto $g(x)$ (la matryoshka de adentro),

$\frac{d}{dx}\left(f(g(x))\right)=f'(g(x))g'(x)$.

Para considerar multiplicación constantes, bastan pensar $cf(x)$ como una muñeca $c$ veces más grande que la original, entonces es inmediato que $c$ no es afectada por la derivada, pintar no cambia el tamaño de la muñeca. 

Para la regla del cociente, bastan con aplicar las reglas del producto y de la cadena, así que todas las reglas básicas de derivación siguen de este principio.






Saturday, October 6, 2012

Proof by picture

Today coming to the library I took a picture of the door handles at the front entrance of the lobby,


It always came to my attention that the right handle is more faded that the left one and I decided to take a picture and run a little test on "how much more faded" it is. The direct explanation of this different could be the difference in right-handed and left-handed population at school (at least the ones that use the library), so quantifying this difference in the picture can give a rough idea of the ratio in the student population of left : right handed people.


After lowering the brightness and contrast of the picture, and adjusting the color levels, I got this image on Photoshop CS6 (the one that is at the library). Then to compare the two white regions on the handle, I ran a histogram to count how many white pixels were in each handle. The rust was 19437 pixels for the right and 9476 for the left handle. With this information we have that the ratio of left: right fading is

$\frac{9476}{19437}=0.48$

or almost 1:2. We can say that the population is split 

$\frac{9476}{19437+9476}=32\%$ left-handed, $\frac{19437}{19437+9476}=68\%$ right-handed,

or nearly 3 out every 10 people are left handed. Again this is a very rough estimate since it is based only on the people that go to the library and on the fading of the handles of just one door, but I think that it reflects how much information can be obtained by simple facts, plus with almost no effort.