Hace poco tiempo con mi amigo Javier Ronquillo comenzamos a estudiar curvas elípticas con un libro muy interesante que se enfoca en describir los puntos racionales que una curva elíptica puede tener. Una curva elíptica se puede definir en general sobre cualquier anillo $R$ como el conjunto de soluciones en $R$ de la ecuación
$p(x,y)=Ax^3+By^2+Cxy+Dx^2+Ex+Fy+G=0$
donde las constantes $A,B,C,D,E,F,G\in R$. Propiedades interesantes surgen cuando se dota de una operación binaria a este conjunto. Resulta que una curva elíptica $C(p,R)$ puede convertirse en un grupo abeliano de acuerdo con las siguientes reglas:
- Se fija un punto $O\in C(p,R)$
- Si $P,Q\in C(p,R)$, se denota por $P*Q$ el tercer punto de intersección de la recta que pasa por $P,Q$ con la curva elíptica $C(p,R)$
- Se define $P+Q=O*(P*Q)$
La definición arriba descrita hace a $C(p,R)$ un grupo aditivo, y esto es gracias a la propiedad que si una recta pasa por dos puntos de $C(p,R)$, pasa por un tercero necesariamente, contando multiplicidades, así la recta tangente a un punto $P$ de $C(p,R)$ necesariamente pasa por otro punto de la curva, y solamente uno, por lo que nuestra definición de suma está bien definida.
Gracias a esta estructura de grupo que se le da a $C(,p,R)$, las curvas elípticas han cobrado gran auge en campos como teoría de codigos y criptografía.
Hace un mes aproximadamente, asistí a una charla dada por uno de mis profesores de algebra, Dr. David Arnold, y estaba hablando precisamente sobre curvas elípticas y su relación con números congruentes. En su charla definió de una manera distinta la suma en $C(p,R)$ y a primera vista no me pareció una forma equivalente a la que había aprendido unas semanas atrás, sin embargo, luego de pensar un poco me resultó bastante claro y conveniente esta extraña definición.
Definió una curva eliptica sobre $\mathbb{R}$ como las soluciones a
$y^2=x^3+ax^2+bx+c$
y la suma de dos puntos $P,Q$ simplemente como la reflexión sobre el eje $X$ de $P*Q$.
La ventaja de esta definición es que el grupo no depende de la elección de $O$, sino que en este caso, el neutro aditivo es el punto en el infinito dado por $(\infty,\infty)$.
Despues de investigar un poco, me di cuenta que la definición usual de curvas elípticas y adición en ellas es esta que él habia dado, y que la que había aprendido yo era la rara, lo cual me hizo interesarme más en el asunto.
Una forma un poco simple de pensar en esta aparente ambigüedad de conceptos, es ver al segundo punto de vista como un caso particular del primero. Si tomamos $C(p,R)$ con un punto fijo $O$, podemos realizar una transformación puntual al infinito y mandar el punto $O$ al punto en el infinito y así obtener el segundo punto de vista.
Una transformación puntual es una transformación del plano en sí mismo que transforma lineas en lineas, así que, dado que nuestra definición primera de adición está en términos de rectas e intersecciones, la misma definición seguirá siendo válida luego de aplicar una transformación de este tipo.
En general, dichas transformaciones puntuales mapean un punto $P=(x,y)$ a un punto $\tilde{P}=(\tilde{x},\tilde{y})$ en donde las nuevas coordenadas están dadas por
$\tilde{x}= \frac{ax+by+c}{gx+hy+i}$
$\tilde{y}= \frac{dx+ey+f}{gx+hy+i}$
en donde se manda la recta $gx+hy+i$ al infinito.
Para ver las bondades de esta transformación, resulta adecuado reescribirla como
$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}$
y las nuevas coordenadas del punto $\tilde{P}$ son $\tilde{x}=\frac{\bar{x}}{\bar{z}}$ y $\tilde{y}=\frac{\bar{y}}{\bar{z}}$.
Esta ultima descripción puede verse como una transformación lineal de $R^2$ en $R^3$, o bien, puede generalizarse como una transformación entre espacios proyectivos.
Si se tiene un punto $(x:y:z)\in\mathbb{P}^2(R)$, donde $\mathbb{P}^2(R)$ es el espacio 2-proyectivo de $R$, tenemos que dicha transformación se puede escribir como
$T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}$
Como consecuencia de trabajar en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^2(R)$, debemos cambiar nuestro polinomio $p(x,y)$ que genera la curva elíptica por
$p(x:y:z)=Ax^3+By^2z+Cxyz+Dx^2z+Exz^2+Fyz^2+Gz^3$
Ahora nuestro objetivo es estudiar que pasa con dicha curva elíptica al aplicarle una transformación puntual como la anteriormente descrita. Para esto, podemos ver que tipo de condiciones se pueden imponer sobre la matriz $T$. Luego de analizar un poco la situación, se puede concluir que sin pérdida de generalidad $det(T)=1$, con lo que se tiene que el conjunto de todas las transformaciones puntuales de $\mathbb{P}^2(R)$ en sí mismo es el grupo lineal proyectivo $\text{PSL}(R,3)$ de matrices sobre $R$ con determinante igual a la identidad.
El único problema es que luego de aplicar una transformación $T\in\text{PSL}(R,3)$, puede darse el caso que una curva elíptica $C(p,R)$ no sea transformada en otra curva elíptica, sino que en algo más, es decir, el conjunto de curvas elípticas en $\mathbb{P}^2(R)$ no es invariante respecto de $\text{PSL}(R,3)$. Un ejemplo de conjuntos de curvas invariantes respecto de $\text{PSL}(R,3)$ son las cónicas, puesto que al aplicar una transformación puntual a una cónica el resultado es otra cónica.
Con esta idea en mente, es posible ampliar el concepto de curva elíptica de tal manera que sea invariante respecto de transformaciones puntuales.
Si definimos una curva elíptica en $\mathbb{P}^2(R)$ como el conjunto de ceros de un polinomio de la forma
$p(x:y:z)=\sum_{r+s+t=3}c_{r,s,t}x^ry^sz^t$
con $r,s,t\geq 0$ y $c_{r,s,t}\in R$, tenemos ahora que el conjunto de curvas elípticas en $\mathbb{P}^2(R)$ es invariante respecto de $\text{PSL}(R,3)$, y con esta descripción es posible estudiar el comportamiento de curvas elípticas bajo transformaciones puntuales y ver que los cambios de coordenadas son funciones racionales de las coordenadas originales, y por ejemplo, $C(p,\mathbb{Q})$ es mapeado en otra curva elíptica luego de aplicar una transformación puntual. Más en general, para un $F$ es un campo, $C(p,F)$ es mapeado en otra curva elíptica sobre $F$ de manera isomorfa, por lo que propiedades como ordenes de elementos, generadores, número de subgrupos y demás permanecen invariantes luego de aplicar una transformación puntal.