Hausdorffización de un Espacio?

El año pasado después de una plática sobre topología en la universidad, como cosa rara en un ambiente topologico, surgió una pequeña plática sobre espacios de Hausdorff. De dicha discusión, sirgió en mi la inquietud si de alguna forma pudiera medirse cuán Hausdorff es un espacio.

Un espacio topológico se dice Hausdorff si es posible separar puntos, es decir, si dados dos puntos distintos, se pueden hallar vecindades de cada punto disjuntas entre sí. Una definición más formal sería que dados dos puntos distintos $x,y$ de un espacio topológico $X$, existen abiertos $U,V\in \mathcal{T}$ tales que $x\in U$, $y\in V$ y $U\cap V=\emptyset$.

De cierto modo, dos puntos que fallan en cumplir esta propiedad están unidos, en el sentido que cualquier vecindad de uno intersecta a todas las vecindades del otro.

Siguiendo esta conceptualización, si tenemos que la propiedad de separación falla en dos puntos $x,y$, hablando de una manera informal podríamos decir que los puntos no pueden tener vecindades arbitrariamente pequeñas. Con esto en mente, se me ocurrió definir una función $\mathcal{W}:X\to \mathcal{P}(X)$ por $x\mapsto \bigcap_{V\in\mathcal{T}} U$.

La idea es hallar la menor vecindad alrededor de cada punto. Sin embargo, nótese que $\mathcal{W}_x$ no será necesariamente un conjunto abierto, de hecho, en el caso que se trate de un espacio Hausdorff, no es muy difícil de probar que dicha función $\mathcal{W}$ es simplemente $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y por lo tanto, si el espacio es $T_1$, se tiene que $\mathcal{W}_x$ es cerrado.

Posiblemente, esta función pueda ayudar a medir en cierto modo que tan Hausdorff es un espacio. Si un espacio es Hausdorff, se tiene que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y sería natural preguntar si esta condición es suficiente para ser Hausdorff, es decir, un espacio $X$ es Hausdorff si y solo sí $\forall x\in X$, $\mathcal{W}_x=\{x\}$.

Supongamos que $X$ es un espacio tal que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ para todo $x\in X$ y $X$ no es Hausdorff. Sean $x,y$ dos puntos distintos de $X$ tales que cualquier vecindad de $x$ intersecta a todas las vecindades de $y$.

Sea $\mathcal{B}_x$ una base local en $x$ y $\mathcal{B}_y$ una base local en $y$. Puesto que $U\cap V=\emptyset$ para todo $U\in\mathcal{B}_x$ y todo $V\in\mathcal{B}_y$, sea $l_{UV}\in U\cap V$. Utilizando el axioma de elección, defínase $L$ el conjunto de dichos $l_{UV}$. Por definición, se tiene que $x$ es un punto límite de $L$.

Supongamos que $X$ es segundo contable, de esta manera, es posible encontrar una sucesión $\{l_n\}$ en $L$ que converja a $x$. Por definición, para todo $n$, existe una vecindad $V$ de $y$ tal que $l_n\in V$, por lo tanto $l_n\in\overline{V}$ y entonces $x\in \cap_{y\in V\in \mathcal{T}} \overline{V}$ $=\overline{\cap_{y\in V\in \mathcal{T}} V}$ $=\overline{\{y\}}$. Si se supone además que $X$ es $T_1$, entonces $\overline{\{y\}}=\{y\}$, por lo que $x\in \{y\}$ y entonces $x=y$.

Al parecer, esta equivalencia es válida en el ámbito de $X$ ser $T_1$ y segundo contable, no se si puede ser generalizada esta noción, pero me pareció una forma interesante de traducir el concepto de Hausdorff en términos de la menor vecindad que contiene a un punto.