Hace un par de semanas fui a un congreso/seminario sobre aplicaciones de la matemática en la industria y el impacto de minorias en estados unidos en la ciencia. Principalmente se habló sobre oportunidades de trabajo y aplicaciones de distintas áreas de la matemática en problemas actuales, como control en cambio climático, modelación de epidemias, etc. La verdad, no fue muy matemático que digamos puesto que fue más orientado a opciones de comenzar una carrera en la industria y no en la academia, sin embargo, hubo una charla muy interesante sobre funciones zeta, teoría de la representación y matrices aleatorias que capturó mi atención.
Durante su charla, el expositor tocó brevemente el tema de la hipótesis de Riemann, y para darnos la idea de la dificultad del problema, ofreció un premio de $100 si alguien era capaz de demostrar que el primer cero de la función zeta de Riemann tenía parte real igual a 1/2.
Como todo buen estudiante de postgrado y en permanente carecia de fondos, me llamó la atención el intentar este problema. El tiempo era limitado, puesto que al día siguiente se terminaba el congreso, así que durante el resto de las charlas me dedique a tratar de resolver el problema.
En la tarde, fuí a hablarle al conferencista para mostrarle mis avances y las ideas que llevaba, a lo cual no prestó mucha atención en el momento, así que decidí seguir intentando un poco mas en la noche. Al día siguiente fui a consultarle nuevamente, y esta vez me dijo que iba en buen camino, pero que no se recordaba muy bien de como iba la prueba, él mismo lo habia intentado hacía unos 15 años. Al final de cuentas, no logré probarlo, para alivió economico de él y frustración mia, sin embargo, me llevó a descurbir un par de cosas interesantes.
Estaba jugando un poco con representaciones integrales de la función zeta de Riemann, y se me ocurrió probar el viejo truco de utilizar el argumento principal de Cauchy. Definí una función $F$ que me permitía, por medio de una integral de contorno, contar el número de ceros de la función zeta en un rectángulo de altura variable $\sigma$, y puesto que la gráfica $F$ es una gráfica en escalera, intenté hacer algo similar con la función máximo entero.
La idea es trabajar con una función que se anule en todos los enteros, y un buen ejemplo de eso es $f(s)=\frac{1}{\pi}\cot(\pi s)$.
Además, recordando que el argumento principal de Cauchy establece que
$\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma F(s)ds=\sum_z Res (F(s))_{s=z}$
donde la suma corre sobre los polos de $F$ encerrados dentro de la curva $\gamma$.
Con estas dos cosas, tenemos que
$\frac{1}{2i}\int_\gamma \frac{1}{\cot (\pi s)}ds=\sum_z Res(F(s))_{s=z}$
si hacemos una curva que contenga a todos los enteros positivos, tenemos una representación para la función maximo entero, así que podemos definir $\gamma$ como el rectángulo con vértices opuestos $(\sigma, \epsilon)$ y $(1/2, -\epsilon)$, donde el contorno se toma en la dirección antihoraria.
Por lo tanto, podemos definir
$M(\sigma)=\frac{1}{2i}\int_{\gamma_\sigma}\frac{1}{\cot(\pi s)}ds$
Esta función suma los residuos de la funcion $F(s)=\frac{\pi}{\cot(\pi s)}$ en cada entero entre 1/2 y $\sigma$. No es dificil de probar que el residuo de $F(s)$ en $s=n\in\mathbb{Z}^+$ es 1, así que
$M(\sigma)=\sum_{n=1}^{[\sigma]} 1=[\sigma]$
Siguiendo esta idea, tambien es posible hallar una representación integral para la suma de los primeros $[\sigma]$ positivos
$\frac{1}{2i}\int_{\gamma_\sigma}\frac{s}{\cot(\pi s)}ds=\sum_z Res\left(\frac{\pi s}{\cot(\pi s)}\right)_{s=z}$
$=\sum_{n=1}^{[\sigma]}n=\frac{[\sigma]([\sigma]+1)}{2}$
En forma general, la representación integral de la suma de las primeras $[\sigma]$ $k$-potencias de positivos está dada por
$\sum_{n=1}^{[\sigma]} n^k=\frac{1}{2i}\int_{\gamma_{\sigma}}\frac{s^k}{\cot(\pi s)}ds$
para toda $\sigma>1/2$ y todo $k\in\mathbb{C}$.
Esta es una bonita conección entre funciones número teóricas y análisis, muchas veces el contar con una representación analítica resulta muy conveniente al estudiar matemáticas discretas.