Una pregunta muy tonta aparentemente es la de ¿cómo saber si un objeto es plano o no?, sin embargo, al tratar de determinar si algo es plano o no, frecuentemente nos referimos a algún objeto patrón, el cual acordamos en decir que es plano, pero cómo saber si es plano en realidad, y más aún, ¿qué significa que algo sea plano?
Esta linea de pensamientos anterior puede resultar un poco sin sentido y muy abstracta, sin embargo al meditar sobre el asunto es posible darse cuenta del problema latente que se tiene en esta situación. Nuestra referencia de algo plano está dada principalmente por la superficie del suelo en donde vivimos, la cual, desafortunadamente, no es para nada plana.
En términos matemáticos, la pregunta es cómo saber si un objeto tiene curvatura $0$ o no. Una manera indirecta de aproximarse a la respuesta es por medio de la propagación del calor.
Por ejemplo, para determinar si una superficie es plana o no, bastaría con aplicarle una fuente de calor puntual y analizar las curvas isotérmicas, si éstas son círculos, entonces la superficie tiene curvatura constante, y en especial, si es $0$, la superficie es plana (un plano o un cilindro)
Para lograr determinar en sí si se trata de un plano o no, es posible analizar el flujo del calor a cortos tiempos. Básicamente, si el calor se propaga aproximadamente a una razón constante o menos, entonces la superficie es plana. En otras palabras, la forma más lenta en que el calor puede propagarse es en un medio plano, lo cual tiene sentido, puesto que al haber curvatura, existe más proximidad entre las partículas del material y por lo tanto el calor puede propagarse a mayor velocidad.
Esto puede obtenerse por medio de analizar la ecuación de propagación de calor, la cual en coordenadas locales puede escribirse como
$\Delta f(x,t) =\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}$
donde $\Delta$ es el laplaciano en $\mathbb{R}^2$ y $x\in M$ una variedad diferencial compacta sin frontera de dimensión 2.
Unos de los métodos más comunes para resolver esta ecuación es por medio de la utilización del kernel o núcleo de calor $K(t,x,x')\in C^\infty\left(\mathbb{R}^+\times M \times M\right)$, el cual da una solución a la ecuación diferencial con condición inicial $f(x,0)=g(x)$
$f(x,t)=\int_M K(t,x,y)g(y)dy.$
Para tiempos cortos, ie. $t\to 0$, se tiene la expansión asintótica del kernel
$K(t,x,x)\sim t^{-1}\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x)t^{k}$
en donde los coeficientes del kernel de calor dependen unicamente de la variedad $M$, su métrica y sus derivadas.
Es un resultado conocido que el primer coeficiente $a_0$ es un múltiplo de la curvatura escalar de la variedad, y en nuestro caso, estamos interesados en que esta sea $0$, por lo tanto para que la superficie sea plana, debemos tener que para tiempos pequeños ($t\sim 0$)
$K(t,x,x)\sim a_1(x)+a_2(x)t+O(t^2)$
por otra parte, si la curvatura escalar no es cero, se tiene que la expansión del kernel es
$K(t,x,x)\sim a_0(x)t^{-1}+a_1(x)+a_2(x)t+O(t^2)$
cuyo término predominante a pequeños tiempos es $a_0$, el cual hace que la propagación del calor sea más rápida, del orden de $t^{-1}$.
Una consecuencia curiosa de este análisis es el hecho que el hecho de que una superficie sea plana o no depende de la rapidez del flujo de calor, en otras palabras, el que una superficie sea plana, no es solamente una propiedad de las dimensiones espaciales de dicho objeto, sino que también de la dimensión temporal en la que está inmerso.
Este hecho da indicios de una relación más intima entre las dimensiones espaciales y temporales, y que al final de cuentas, no están tan desligadas unas de otras.
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