Ecuaciones cónicas y extensiones algebráicas

Hace un par de meses discutiamos con mi amigo José Carlos sobre ecuaciones diofantinas y de posibles métodos para poder resolverlas completamente sobre los enteros.

Este tipo de ecuaciones han sido sujeto de estudio intenso a través de la historia, siendo uno de los ejemplos más famosos el del último teorema de Fermat, dado un natural $n$, determinar las soluciones enteras de la ecuación

$x^n+y^n=z^n$

Como es bien sabido, gracias a Andrew Wiles, dicha ecuación no posee soluciones enteras a menos que $n=1$ o $n=2$.

Proponiendo una meta menos ambisiosa, consideremos una ecuación diofantina de segundo grado

$ax^2+bxy+cy^2=z$

La idea era caracterizar todos los enteros $z$ que pueden ser escritos de la forma $ax^2+bxy+cy^2$, y en el mejor de los casos, dar la forma de los enteros $x$ y $y$ que cumplen con el trabajo.

Con un poco de ejemplos numericos para ciertos valores de $a,b,c$, José Carlos conjeturó que las soluciones $x,y$ de la ecuación son multiplicativas, es decir, si

$ax_1^2+bx_1y_1+cy_1^2=z_1$

$ax_2^2+bx_2y_2+cy_2^2=z_2$

con $x_1,y_1$ y $x_2,y_2$ primos relativos, entonces existen $x_3,y_3$ tales que

$a(x_3)^2+b(x_3)(y_3)+c(y_3)^2=(z_1z_2)$

con afán de simplificar un poco la notacion, podemos denotar la ecuación como

$p(x,y)=z$

y si reescribimos la propiedad multiplicativa como

$p(x_1,y_1)\cdot p(x_2,y_2)=p(x_3,y_3)=z_1z_2$

Esto da una noción de un cierto tipo de norma en $Z^2$. Esto no es más que una extensión de la idea de los enteros gaussianos, en donde se hacen corresponder a los pares $(x,y)$ con $x+iy$, ahora, en este caso, es necesario trabajar con otra extensión algebraica de segundo orden distinta de $\mathbb{Z}\oplus i\mathbb{Z}$.

En pocas palabras, la idea es hacer corresponderle a cada par de enteros $(x,y)$ un numero $x+\alpha y$, donde $\alpha$ es un numero algebraico sobre $\mathbb{Z}$ de grado 2, y de tal manera que $p(x,y)$ sea una norma en dicha extensión algebráica.

Para esto, consideremos el conjunto $G_\alpha=\mathbb{Z}\oplus\alpha\mathbb{Z}$, con $\alpha$ un número algebráico de segundo orden con polinomio mínimo $p(x)=x^2+ex+f$. La idea es convertir $G_\alpha$ en algo que posea una estructura muy parecida a la de los numeros complejos, digamos, un anillo junto con una operación de conjugación.

En primer lugar, la multiplicación de dos elementos se puede hallar utilizando el hecho que $\alpha^2=-b-a\alpha$, lo cual da

$(x,y)(w,z)=(xw-byz,yw+xz-ayz)$

Ahora, es necesario tener un cirto tipo de $\alpha$-conjugado, es decir, un homomorfismo involutivo en $G_\alpha$. Esta conjugación queda totalmente determinada por su valor en $\alpha$. Si tenemos que $\overline{\alpha}=k+d\alpha$, utilizando la propiedad involutiva y la de ser homomorfismo, llegamos a que la única conjugación no trivial es $k=-e$ y $d=-1$.

Ahora, podemos definir la norma en $G_\alpha$ como

$|(x,y)|^2=(x,y)\overline{(x,y)}$

lo cual, por puede escribirse como

$|(x,y)|^2=x^2-exy+fy^2$

con esto tenemos que es inmediata la observación dada por José Carlos, puesto que si $p(x,y)=x^2-exy+fy^2$, y si $p(x_1,y_1)=z_1$ y $p(x_2,y_2)=z_2$, entonces $p(x_3,y_3)=z_1z_2$, donde $x_3,y_3$ están dados por la multiplicación en $G_\alpha$

$(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_3,y_3)$

Así, el problema inicial de resolver $p(x,y)=z$ se reduce a encontrar puntos con coordenadas enteras en el círculo de radio $z$ centrado en el origen en $G_\alpha$, donde $\alpha$ es una de las raices de $p(x,1)$.

Es importante observar que cualquier polinomio $ax^2+bxy+cy^2$ sustituirse por un polinomio de la forma $x^2-exy+fy^2$ sin afectar el problema inicial.