Hace poco estaba viendo un documental sobre el último teorema de Fermat, grabado cuando recién se había anunciado la prueba de Andrew Wiles. El documental es muy interesante y abarca una muy buena introducción histórica y matemática del teorema, así como de la teoría empleada en su demostración.
En una parte del documental, Robert Osserman hace una muy bonita conección entre la naturaleza de los números y armonías entre sonidos. Muestra un par de triángulos rectángulos, uno pitagórico y otro un triágulo isóceles, tales que cada uno de los lados era una cuerda con la misma tensión.
Al final de la demostración, resulta que el triángulo pitagórico resuena armoniosamente, mientras que el isóceles es uno de los ejemplos de sonidos menos armoniosos que pueden haber.
Me pareció muy interesante la conección existente entre armonía musical y la relación pitagórica de los números, la cual resulta muy coherente luego de analizarla.
No hay mejor manera de analizar sonidos creados por cuerdas que utilizar la ecuación de la cuerda vibrante, la cual es la ecuación de onda con condiciones Dirichlet a la frontera:
$\Delta \phi(x) =\lambda \phi(x)$
donde $\lambda$ es un armónico del sonido producido por la cuerda. Como bien es sabido, la solución general al problema de la cuerda vibrante es una superposición de todos los armónicos posibles, que puede ser escrito como serie de Fourier como
$\phi(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x)$
donde $\lambda_n=\frac{n\pi}{L}$ debido a las condiciones de frontera $\phi(0)=\phi(L)=0$, con $L$ el largo de la cuerda.
Por otra parte, desde Pitágoras con el monocordio, es sabido que al dividir una cuerda en partes iguales, se producen sonidos armoniosos, por lo que pudiéramos decir que el grado en que dos sonidos resuenan armoniósamente está relacionado con la relación que guardan sus frecuencias fundamentales. Si una frecuencia divide exactamente a la otra, el sonido es muy armonioso, tal es el caso de las octavas, en donde una frecuencia es el doble de la otra (o una potencia de 2). Luego, el grado de armonía puede medirse por medio de que tan grande sea el minimo común multiplo de ambas frecuencias, el cual puede interpretarse como que tanto hay que esperar para que los dos sonidos lleguen a producir un armónico en común.
Por esta razón, las octavas suenan muy armoniosas mientras que una nota y su sostenido no tanto. En el caso de tener dos cuerdas con logitudes cuya razón es un número racional, es posible obtener sonidos armoniosos, dependiendo del tipo de número obtenido, mientras que si la razón es un número irracional, eso quiere decir que hay que nunca es posible obtener un armónico en común, y por lo tanto el sonido obtenido es lo menos armonioso posible.
No comments:
Post a Comment