Fractales: geodésicas caóticas

Hace un par de días estuve en una presentación donde tuvieron como atracción principal música hecha con bobinas de tesla.

Básicamente, lo que crea la ilusión de ver un rayo, es la ruptura de la rigidez dieléctrica del aire por medio de altos voltajes generados por la bobina. La música es producto de cambiar la frecuencia de la señal generada y ponerla en el rango audible. Uno de los principios básicos de la electricidad, como en muchas otras partes de la naturaleza, es que la electricidad siempre busca el camino de menor impedancia, en otras palabras, trata de minimizar el trabajo realizado.

Ejemplos de este tipo de minimizaciones son catenarias descritas por cables en suspensión, esferas dibujadas por burbujas, orbitas elípitcas de planetas, etc. Para los que conocen de fractales, no es nuevo también saber que muchos patrones fractales en la naturaleza emergen de problemas de optimización, así por ejemplo las conchas de caracoles son resultado de maximizar espacio minimizando material de una manera creciente en el tiempo. Otras estructuras fractales que aparecen en plantas son resultado de maximizar el aprovechamiento y obtención de recursos minimizando espacio ocupado y energía utilizada.

El espectáculo creado por las bobinas de tesla involucra propagación de ondas electromagnéticas en cierto medio, sin embargo, como es bien sabido, es posible pensar en propagación de ondas electromagnéticas como el otro lado de la moneda de la óptica, es decir, las ondas electromagnéticas se propagan minimizando el camino óptico del medio.

Como resultado, dichas trayectorias constituyen geodésicas sobre el espacio-tiempo dictaminadas principalmente por las ecuaciones de Maxwell, las cuales pueden ser resueltas explicitamente. Sin ir muy lejos, dichas geodésicas son trayectorias diferenciales (generadas por el espacio tangente), sin embargo claramente una bobina de tesla muestra patrones demasiado alejados de ser diferenciales, entonces ¿qué está mal con este razonamiento y porqué se difiere tanto de un resultado y el otro?

Fundamentalmente la diferencia radica en algo que muchas veces pasamos por alto y que, como este caso, puede influir grandemente en cualquier tipo de análisis, y esto es que el aire no es un medio perfecto. Algunas veces cuando el medio es suficientemente homogéneo, es posible ver geodésicas como las esperadas, pero esto no ocurre a menudo.

Sin embargo, en general el aire resulta ser un medio muy heterogéneo, y realizar un análisis explícito de un problema como este resulta muy complicado. Es acá donde entra a jugar el caos. Visto como un sistema dinámico, este resulta ser un sistema altamente caótico, puesto que la rigidez dieléctrica es una propiedad que depende de muchos factores, como humedad, temperatura, composición del medio, etc.

Así como escribí anteriormente sobre como la geometría del medio puede influir en la formación de curvas de nivel, acá no solo la geometría, sino que las propiedades del medio determinan las geodésicas formadas.

Siendo un medio caótico, es natural obtener patrones fractales como curvas que minimicen cierta acción, en este caso, es el camino óptico de la onda electromagnética.

Al pensar un poco en el asunto, no resulta tan difícil de creer que este sea el caso, puesto que, por ejemplo, al considerar soluciones a problemas de conducción de calor y otros modelados por ecuaciones diferenciales elípticas, para pequeños tiempos es muy usual utilizar la aproximación dada por el kernel de calor $K(t,x,y)$, el cual puede interpretarse probabilísticamente como la probabilidad de que en un tiempo $t$, una partícula se desplace desde la posición $x$ hasta la posición $y$, es decir, puede verse tambien como un tipo de movimiento browniano, el cual es un tipo de fractal similar al generado por caminatas aleatorias.

Conocer la forma de las geodésicas de cierto fenómeno da mucha información sobre la geometría del ambiente, y en este caso dice mucho sobre la distribución aleatoria de propiedades eléctricas en el medio ambiente, en otras palabras, la aleatoricidad del aire.