Caustics and implicit differentiation

A couple of days ago I give my Calculus class an exam about differentiation and I was looking for some interesting problems involving implicit differentiation. I had in mind something that had real life applications, maybe like finding the rate of change between two variables in a chemical reaction, or a physical phenomenon, something where the variables were related by an equation such that one cannot explicitly solve one in terms of the other (which is the spirit of implicit differentiation).

After browsing for a while, I couldn't find any nice looking equation to put in my exam, but I came across a family of interesting curves that appear mainly in optics. They are called caustics and basically they are the result of reflection and refraction of light rays through the boundary of an object. 

Some usual places where we can see these type of curves are coffee cups (a mathematician's best friend), wine glasses, ponds, fountains, etc. Some of the most famous curves that arises as caustics are cardioids which in general will satisfy an equation like

$(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2$.

This looked like a nice equation on which one could do some implicit differentiation business, but just finding a rate of change between $x$ and $y$ would not have been fun at all, even calculating the equation of the tangent line is nothing more but a regular calculus problem, so I thought about combining it with an optimization problem. 

If we want to find the widest part of the cardioid along the vertical direction, we have to look for the maximum and minimum values of $y$. This can be calculated by finding $\frac{dy}{dx}=0$, which using implicit differentiation gives

$\frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+y^2-x)(2x-1)-x}{y(1-2(x^2+y^2-x))}=0$

and therefore we have $(x^2+y^2-x)(2x-1)-x=0$. From here we obtain that $y^2=\frac{x}{2x-1}-x^2+x$ and by substituting back in the equation of the caustic we find that the extrema happen at $x=3/4$ and $y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{4}$. 

Therefore we have that the widest part happens at $x=3/4$ and has a total width of $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Similarly, for $\frac{dx}{dy}=0$ we have that $y(1-2(x^2+y^2-x))=0$ from where we have that $y=0$  with $x=0, 2$, and $y^2=1/2-x^2+x$, and then putting that into the original equation gives $x=-1/4$ and $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$.

After doing this, a natural question would be to calculate the diameter of the caustic. This seems to be a harder question if one tries to it analytically, writing down the equations and solving the optimization problem. Instead, a more geometrical approach can solve the problem easily.

Recalling the geometric nature of a cardiod, it is obtained as the locus of a fixed point of a circle that rotates around another fixed circle. By studying this, it is not difficult to convince oneself that the diameter is achieved in either $x=3/4, y=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ to $x=3/4, y=-\frac{3\sqrt{3}}{4}$, or at $x=2, y=0$ and some other point. The first pair of points give a distance of $d=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. When considering the second case, is not difficult to see that the maximum distance occurs when the second point is $x=-1/4, y=\frac{\sqrt{3}}{4}$, where we have a distance of $d=\frac{\sqrt{21}}{2}$ which is smaller that the previous one. Therefore we have that the diameter of the caustic is $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ which intuitively make sense since there would be the place where rays of light would be reflected closer to the cup.

Polinomios

Hace un par de semanas estaba enseñando derivadas de orden mayor en mi clase de cálculo y uno de mis alumnos me preguntó sobre un problema de la tarea. Era un problema interesante y bastante sencillo:

"Verifique para cuales de las siguientes funciones se cumple que $y^{(k)}=0$ para $k\geq 6$"

y luego daba un listado de funciones a verificar. El objetivo del problema era simplemente obtener la sexta derivada de las funciones y notar que una vez se obtiene cero, siempre se obtendrá cero en las derivadas de orden mayor. Un poco por pereza y un poco por tratar de quitarles la idea de que la matemática es una actividad repetitiva y mecánica a mis alumnos, decidí resolverles el problema por medio de caracterizar todas aquellas funciones que satisfacen esta ecuación diferencial en lugar de analizar cada caso por separado.

Posiblemente la forma más sencilla de ver al problema es quitar la restricción sobre $k$ y comenzar a entender que significa el que una cierta derivada de una función se anule. Recordando que una derivada de orden mayor es simplemente tomar la derivada de una derivada, es fácil darse cuenta que para obtener que la derivada de una función sea cero, la función debe ser una constante. En otras palabras si $y^{(k)}=0$, la derivada anterior debe ser una constante $y^{(k-1)}=c$. Si tomamos $k$ como el mayor orden tal que $y^{(k)}=0$ obtenemos que $y^{(k-1)}=c\neq 0$. Con el mismo razonamiento se puede concluir que $y^{(k-2)}=cx+b$, $y^{(k-3)}$ es un polinomio de grado tres, etc. En particular, esta simple ecuación caracteriza a los polinomios de grado a lo más $k-1$, en otras palabras, si $p(x)$ es un polinomio de grado $d$, la $d+1$ derivada de $p(x)$ será idénticamente cero. 

Esto quizás no es un resultado que suene muy importante, pero detrás de este hecho tan simple es posible explicar una de las definiciones más superfluas que les damos a nuestros estudiantes en los cursos de precálculo. Formalmente se introduce la noción de polinomio como una combinación lineal finita de monomios, que en el caso de una sola variable es un término de la forma $x^n$ con $n$ un número natural. Al dar esta definición regularmente se enfatiza el hecho de que la potencia debe ser un natural, y los casos en que se tienen potencias negativas o fraccionarias (irracionales en el caso de los más quisquillosos) quedan relegadas de la noción de monomio. Muy pocas veces se da una justificación para esta restricción en las potencias, que a primera vista puede resultar un tanto arbitraria y artificial. 

Una posible explicación puede resultar ser que al realizar esta restricción se obtiene que el anillo de polinomios resulta ser graduado, hecho que emocionaría a cualquier estudiante de matemática o física pero que no vendría a pasar de una curiosidad dominguera para mucha de la demás gente. Sin embargo esta motivación no es del todo válida, puesto que las series de Laurent en donde se permiten potencias enteras negativas cumplen con ser graduadas. 

El hecho de trabajar con series de potencias sugiere el uso de exponentes enteros, sin embargo la restricción a naturales resulta ser un tanto arbitraria, salvo cuando se consideran comportamientos cerca de cero, en donde exponentes negativos hacen que las funciones dejen de existir y propiedades globales de continuidad se pierdan. A pesar de ser esta una razón meramente técnica, esta misma sugiere buscar en el análisis una razón más natural y consecuente del uso de potencias no-negativas para los polinomios. 

Al final, la motivación de la definición de polinomio utilizando solamente exponentes naturales puede que no haya surgido de una ecuación diferencial, sin embargo me gustó mucho dicha caracterización la cual le quita un poco de artificiosidad a la estructura de los polinomios, los cuales se pueden definir entonces como

$p(x)$ se dice un polinomio de grado $k$ si $p^{(k)}(x)\neq 0$ y $p^{(k+1)}(x)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

La dependencia de la naturaleza de $k$ se puede esconder un poco más en esta definición, ya que usualmente se definen derivadas de orden natural, sin embargo esto ofrece una definición un poco más elegante.