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Hace unos días estaba explicando la regla de la cadena en mi clase de cálculo y al decir una frase se me ocurrió la analogía con las famosas matryoshkas o muñecas rusas:
en la regla de la cadena, uno tiene una función dentro de otra función.... como una matryoshka...
Esta aseveración no tiene nada que ver con la regla de la cadena, mas sería con composición de funciones, sin embargo creo que pudiera ser una bonita manera de recordar algunas de las reglas de derivadas cuando entendemos la acción de derivar por algo un poco más concreto:
Pintar un objeto de un color dado
Esto quiere decir, que podemos asociar el derivar una función con pintar un objeto de un color, digamos, de azul. Por ejemplo, si tengo una muñeca $f(x)$ y la quiero pintar de azul, quedaría $f'(x)$,
Ok, por el momento no parece nada profundo, pero veamos que pasa si tengo dos muñecas. Recordemos que "derivar" significa ahora "pintar UN objeto de azul", esto es, si tengo dos muñecas tengo dos opciones, pinto una o pinto la otra
En otras palabras, si las muñecas son $f(x)$ y $g(x)$, "pintar" $f(x)$ y $g(x)$ es lo mismo que decir
$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right)$,
y el resultado es haber pintado $f(x)$ y no pintar $g(x)$, ó haber pintado $g(x)$ y no pintar $f(x)$, i.e.
$f'(x) g(x)+f(x)g'(x)$.
Acá simplemente hago corresponder las operaciones usuales con operaciones booleanas (o es +, y es x).
De igual manera, la regla de la cadena se obtiene al querer pintar una matryoshka. Si quiero pintarla, debo pintar la muñeca de afuera y la de adentro,
Esto es, pinto $f(g(x))$ (la matryoshka de afuera), y pinto $g(x)$ (la matryoshka de adentro),
$\frac{d}{dx}\left(f(g(x))\right)=f'(g(x))g'(x)$.
Para considerar multiplicación constantes, bastan pensar $cf(x)$ como una muñeca $c$ veces más grande que la original, entonces es inmediato que $c$ no es afectada por la derivada, pintar no cambia el tamaño de la muñeca.
Para la regla del cociente, bastan con aplicar las reglas del producto y de la cadena, así que todas las reglas básicas de derivación siguen de este principio.
