Limites hasta el limite

Recuerdo que de estudiante, y aun ahora dando clases, el tema de limites me parecia muy aburrido y sin sentido. Siempre se presenta el estudio de limites como algo necesario para poder definir los dos pilares del calculo, la integral y la derivada.

Sin embargo los limites constituyen un objeto muy interesante en si, mas alla de servir para definir continuidad en una funcion, se pueden interpretar como una manera de darle sentido a lo que no tiene.

Para los estudiantes de precalculo y calculo, el concepto de limite es siempre oscuro y muchas veces nos limitamos a calcularlo y no darle ninguna interpretacion conceptual.

La idea tradicional de un limite consiste en observar una tendencia, lo cual conlleva a construir el concepto de continuidad y demas maravilals del calculo, pero visto puramente desde la perspectiva de la funcion, un limite es una manera de poder expandir una funcion.

Creo que el trabajar con regularizaciones me hace ver todo a traves de dicho cristal, y esto sucede con la nocion de limite. Por ejemplo, si hablamos de la funcion

$f(x)=\frac{\sin x}{x}\,,$

sabemos que 0 no pertenece al dominio de la funcion, sin embargo el limite bilateral de $f(x)$ en 0 existe, lo cual hace que tenga una discontinuidad removible o evitable. Por lo tanto, al realizar

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}$

lo que estamos haciendo es ampliar la definicion de $f(x)$ a un conjunto mas grande, es decir, darle sentido a algo que no lo tenia antes ($f(0)$).

De esta manera es posible realizar una continuacion de la funcion por medio de definir

$g(x)=\lim_{h\to x}f(h)$,

si la funcion es continua en $x$, $g(x)=f(x)$, si no se tiene un valor ( o dos segun si los limites laterales son distintos) que le da sentido a algo que no existia previamente.

Supongo que esta nocion de limite esta mas enfocada con la naturaleza del objeto "limite", es decir, visto mas desde un punto de la teoria de conjuntos, al igual que la idea de funcion como conjunto de parejas ordenadas.

De esta manera, el calculo de limites es una forma de poder incluir entes extraños a la hora de hablar de funciones, como es el caso de $\infty$, $-\infty$, de tener dos valores para la misma $x$, etc.

Al fin y al cabo, el calculo se trata de ir contra la logica, definiendo cantidades infinitesimales, dibujando rectas con tan solo un punto y abrazando el concepto de infinito.