Solución paramétrica de una elipse

Hace unos días estaba analizando una ecuación diferencial parcial de segundo grado y me topé con la necesidad de encontrar todas las soluciones de una ecuación homogénea de segundo orden

$$ax^2+bxy+cy^2=f.$$

Esta no es más que una elipse rotada, así que las soluciones $(x,y)$ pueden encontrarse de forma paramétrica por medio de las soluciones de una elipse. Un problema bastante rutinario y nada fuera de lo común. Sin embargo, estuve buscando en internet alguna solución paramétrica de una elipse, encontrando únicamente la solución para una elipse normal, no rotada. 

Desde que estaba en los primeros cursos de cálculo, recuerdo el truco de rotar los ejes para eliminar el termino cruzado $xy$ en la ecuación de una cónica, y con esto simplificar la expresión, así que me decidí a escribir la ecuación paramétrica de una elipse general

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.$$

Esta es la ecuación general de una elipse, esto es, una elipse trasladada con centro $(h,k)$ y con ejes rotados por un ángulo $\theta$. 

Sustituyendo $x\mapsto x-h$ e $y\mapsto y-k$, se tiene que la ecuación se puede expresar como

$$a(x-h)^2+b(x-h)(y-k)+c(y-k)^2$$
$$+(f-ah^2-bhk-ck^2)=0,$$

donde 

$$h=\frac{be-2cd}{4ac-b^2}$$ y $$k=\frac{bd-2ae}{4ac-b^2}.$$

Ahora, resta encontrar las soluciones de una ecuación del tipo

$$\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2+\delta=0.$$

Esto se logra por medio de la rotación de ejes

$$x=u \cos(\theta)-v \sin(\theta)$$ e $$y=u\sin(\theta)+v\cos(\theta)$$.

Sustituyendo esto se obtiene que para anular el factor $uv$ es necesario hacer 

$$\theta=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{\beta}{\alpha-\gamma}\right),$$

Luego de esto, se tiene una ecuación del tipo 

$$Au^2+Bv^2=1$$

en donde se puede suponer que $Au^2=\cos(t)$ y $Bv^2=\sin(t)$, con lo que se puede obtener entonces las soluciones paramétricas

$$u=-\frac{1}{\delta}\sqrt{\frac{2\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|+\beta^2}}$$

$$v=-\frac{1}{\delta}\sqrt{\frac{2\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|-\beta^2}}$$

Por lo que regresando a $(x,y)$ da

$$x=-\frac{\cos(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|+\beta^2}}$$

$$+\frac{\sin(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|-\beta^2}}$$

$$y=-\frac{\cos(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|+\beta^2}}$$

$$-\frac{\sin(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|-\beta^2}}$$.

Para finalizar, solo basta incorporar $h,k$ y hacer la correspondencia de $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ en las ecuaciones, 

$$\alpha=a$$

$$\beta=b$$

$$\gamma=c$$

$$\delta=f-ah^2-bhk-ck^2$$

dando

$$x=-\frac{\cos(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}+|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}+(a-c)|c-a|+b^2}}$$

$$+\frac{\sin(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}-|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}-(a-c)|c-a|-b^2}}+h$$

$$y=-\frac{\cos(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}-|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}+(a-c)|c-a|+b^2}}$$

$$-\frac{\sin(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}+|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}-(a-c)|c-a|-b^2}}+k$$.