Hace un par de días vine a un curso de verano en matemáticas para estudiantes de secundaria. La idea es desarrollar las habilidades de los estudiantes, así como exponerlos a matemáticas no tradicionales (y más interesantes).
Uno de los cursos de esta semana es el de probabilidades. En este curso surgió un problema muy interesante:
Se lanza un dado honrado hasta que el número de 6s obtenidos es al menos la mitad de las veces. Calcular el valor esperado del número de lanzamientos.
A simple vista la respuesta pareciera ser infinito, puesto que al lanzar un dado honrado tendremos que aproximadamente 1/6 de las veces tendremos el número 6, por lo tanto esperaríamos nunca terminar de lanzar el dado. Veamos que pasa si se calcula el valor esperado. El valor esperado será la suma de el número de lanzamientos requeridos para terminar de lanzar el dado multiplicado por su probabilidad de ocurrencia:
$$E=\sum_{n=1}^\infty nP_n$$
Para analizar estas probabilidades, primero veamos que pasa en los primeros casos. Si en el primer lanzamiento se obtiene un 6, el juego termina. Esto pasa con probabilidad 1/6. Para que el juego termine luego de 2 lanzamientos, el primero tuvo que haber sido distinto de 6 y el segundo tuvo que ser 6. Esto pasa con probabilidad (5/6)(1/6).
El caso de terminar en 3 lanzamientos es un poco más interesante. Para esto es necesario que al menos 2 de los lanzamientos hayan sido 6. Sin embargo puesto que los lanzamientos son en secuencia, las posibilidades son $x,6,6$, $6,x,6$, $6,6,x$. Notemos que en todas las opciones los lanzamientos terminarían a lo más en el segundo tiro, por lo que la probabilidad de terminar en el tercer tiro es 0. Por medio de este argumento es posible ver que el juego termina al tener exactamente la mitad de 6s y que esto requiere que el número de lanzamientos sea par (excepto para el caso $n=1$) .
Ahora debemos de calcular la probabilidad de terminar en $2k$ lanzamientos, para esto podemos replantear el problema de una manera más gráfica:
Si queremos terminar en exactamente $2k$ lanzamientos, debemos tener que .el número de 6 obtenidos debe ser menor a la mitad de lanzamientos en cada tiro, excepto en el último, en donde debe ser exactamente la mitad.
Si representamos esto en una cuadrícula en donde el eje vertical representa un 6 y el eje horizontal representa un 1,2,3,4 o 5, entonces el problema se traduce en construir un camino desde $(0,0)$ hasta $(k,k)$ de tal forma que el camino no toque a la linea $y=x$ excepto en los vértices.
Esto es muy similar a una de las representaciones combinatoricas de los numeros de Catalan. Los numeros de Catalan solo poseen la restriccion de no pasar arriba de la diagonal. La relacion entre estos dos no es muy lejana, basta notar que si $n>1$, el primer lanzamiento debe ser distinto de 6 y el ultimo lanzamiento debe ser un 6. Asi, para $n=2k$, el numero de caminos posibles es igual al $k-1$ numero de Catalan $C_{k-1}$. Por lo tanto la probabilidad de terminar en $n=2k$ lanzamientos es
$$P_n=\frac{C_{k-1}}{6^{2k}}$$
Por lo tanto el valor esperado es
$$E=\frac{1}{6}+\sum_{k=1}^\infty (2k)\frac{C_{k-1}}{36^k}$$
Esto puede calcuarse utilizado la funcion generatriz de los numeros de Catalan:
$$\frac{2}{1+\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^\infty C_nx^n,$$
derivando termino por termino, multipicando por $x$ y luego sumando la funcion genneratriz nuevamente se tiene que
$$\frac{1}{6}+\frac{8x^2}{(1+\sqrt{1-4x})^2\sqrt{1-4x}}+\frac{4x}{1+\sqrt{1-4x}}=\frac{1}{6}+x\sum_{k=0}^\infty 2(k+1)C_{k}x^{k}.$$
Por lo tanto, haciend $x=1/36$ obtenemos el valor esperado
$$E=\frac{1}{6}+\frac{1}{12\sqrt{2}}\sim 0.22559.$$