Amistad y geometría hiperbólica

Hace unos días, un amigo publicó en Facebook que uno es el promedio de las cinco personas con las que más se relaciona. Me llamó la atención por varias razones. Primero, porque me dio curiosidad saber en qué medían a las personas para poder hacer el promedio (cosa en la que no voy a profundizar), y segundo, porque me recordó a un viejo problema de olimpiadas

Consideremos un retículo entero indexado por el conjunto ZxZ (por ejemplo, el conjunto de puntos 
de coordenadas (m, n), con $m, n \in Z$). En los vértices de este retículo ponemos enteros positivos 
de acuerdo a la siguiente regla: el número correspondiente a un vértice es el 
promedio de los números colocados en los vértices vecinos (Cada vértice tiene cuatro vecinos 
correspondientes a los cuatro puntos cardinales, por ejemplo: los vecinos de (3, 5) son 
(3, 4), (4, 5), (3, 6), y (2, 5). Así que si los números colocados en (3, 4), (4, 5), (3, 6), y (2, 5), 
son 2, 4, 1, 1, respectivamente, entonces el número colocado en (3, 5) es $\frac{2+4+1+1}{4}=2$ ). 
Demostrar que todos los números colocados en el retículo deben ser iguales.

En espíritu, estos dos problemas son muy parecidos, y por eso me llamó mucho la atención, puesto que la única solución al problema del promedio de las cinco personas, de acuerdo al problema anterior, es que todas las personas son iguales. La diferencia es que el problema de olimpiadas asume que se trabaja con enteros, y aún mas, con todos los enteros. El problema de las personas es definitivamente finito, y por lo tanto la conclusión de uniformidad no es válida.

Por lo tanto, me llamó la atención como pudiera caracterizarse este problema. Siguiendo la misma idea del problema olímpico, asignemosle a cada persona un par ordenado $(x,y)$ en el plano cartesiano. Sea $f$ la funcionó del plano que le asigna su medición de acuerdo a alguna regla (la medición de la que pueda hablar el articulo).

La condición dada en el articulo es entonces que cada persona debe ser el promedio de sus cinco vecinos mas próximos, es decir, cada persona es el baricentro del pentágono formado por sus cinco amigos más cercanos.

Al pensar el problema de una manera un poco más geométrica, pudiéramos pensar entonces que este problema se traduce a teselaciones utilizando pentágonos.

Puesto que estamos hablando de un conjunto finito de personas (grande pero finito!), resulta natural pensar que se trata de teselaciones de la esfera. 

Al tener una de estas teselaciones de la esfera, la condición del baricentro se vuelve en requerir que $f$ sea lineal en este espacio (los vértices de la teselacion), puesto que una función lineal respeta combinaciones lineales. Esto sería un tema de teoría ergódica.

Regresando al tema, la teselación anterior es conocida como la teselación de El Cairo, compuesta de hexágonos descompuestos en pentágonos. Esta es una teselación dual de la teselación de cuadrados truncados

Una telesación dual es aquella que se obtiene por medio de unir los centros de las fugaras que componen otra teselación. Generalmente las estructuras duales poseen características similares, por lo que sería interesante ver la teselación dual de la relación estudiada en el artículo de los cinco amigos. Acá, la teselación dual la relación entre uno y los amigos de nuestros cinco amigos, en otras palabras mediría la influencia en uno de los amigos de nuestros amigos. De estar trabajando con funciones lineales (ergódicas), tendríamos, como es de esperarse, que somos el promedio de los amigos de nuestros amigos. 

Este mismo análisis puede continuarse aumentando los grados de separación obteniendo resultados similares. Nótese que al ir aumentando los grados de separación, la influencia hacia uno mismo va disminuyendo. 

Finalmente, al trabajar con un conjunto finito, se tiene que $f$ debe alcanzar un mínimo y un máximo, lo cual contradice que cada punto sea el medio de otros cinco, y daría como conclusión que todos los puntos son iguales, es decir, que $f$ es constante. 

De esta manera,  para que este resultado sea válgido, tendríamos que hablar de una geometría no Euclideana, muy probablemente de una geometría hiperbólica. De esta manera, nuestro conjunto finito (personas) puede ser dotado de una estructura no acotada, la cual nos haría evitar el resultado que $f$ sea constante.