El tráfico siempre me hace pensar. A veces cosas buenas, cuando voy en carretera, y a veces no tan buenas cuando hay un carro atravesado en un semáforo.
Siempre me ha parecido un tema interesante de analizar, y por supuesto, de querer modelar. Modelar algo significa entenderlo, analizarlo, pensar como piensa el fenómeno. Como dijo Richard Feymann, "lo que no puedo crear, no lo entiendo".
Entender el tráfico es una tarea muy difícil, pues intervienen muchos factores tanto físicos como psicológicos, al final de cuentas son seres humanos los que conducen (por el momento).
El tráfico es caótico. Y no solo por como coloquialmente le decimos, sino que también es matemáticamente caótico. En pocas palabras, un sistema es caótico si pequeños cambios iniciales desencadenan grandes cambios posteriores. En algunas ciudades esto se logra apreciar desde el diseño mismo de las vías, en donde un cruce incorrecto a la derecha, le puede hacer perder a uno hasta media hora.
Así mismo, al tomar al tiempo como variable, muchas veces se tiene un sistema caótico. A veces salir 5 minutos más temprano es la diferencia de llegar una hora tarde o no a algún lugar.
Tanto espacialmente, como temporalmente, el tráfico es un sistema caótico, por lo que patrones fractales comienzan a emerger. Se puede analizar el tráfico considerando principalmente dos funciones
$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^+$$
$$g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+,$$
donde $f$ mide cuando se tarda en llegar a un lugar dado dependiendo de la posición de salida, y $g$ mide cuanto se tarda en llegar a un lugar dado dependiendo de la hora de salida de un lugar fijo.
En estos dos casos simples, $f$ y $g$ son sensibles a grandes cambios debido a pequeñas perturbaciones en el dominio.
Otra manera de analizar el tráfico es de manera continua, como un flujo. A veces es posible aproximar sistemas discretos por medio de sistemas continuos para simplificar el análisis.
Por ejemplo, ¿qué pasa si una parte de la carretera se reduce de dos a un carril? Desde el punto de vista de un. flujo, se puede obtener una aproximación del tráfico utilizando la ecuación de continuidad:
$$2V_1=V_2$$
y el tráfico irá a la mitad de la velocidad en la sección de dos carriles. ¿Qué pasaría si se aumentan a 4 los carriles de la primera sección? Ahora se tendría que la velocidad $V_1'$ es 4 veces más lenta que $V_2$. Pero ¿cómo se compara el tiempo de recorrido en estos escenarios?
Supongamos que el trayecto total mide 1 y que el cambio de numero de carriles pasa en 1/2. Entonces con solo un carril, el trayecto duraría
$$t=\frac{1}{V_2},$$
con el cambio de 2 a 1 carril, el tiempo total es de
$$\frac{1/2}{V_1}+\frac{1/2}{V_2}=\frac{1}{V_2}+\frac{1}{2V_2}=\frac{3}{2}t,$$
y con el cambio de 4 a 1
$$\frac{1/2}{V_1'}+\frac{1/2}{V_2}=\frac{2}{V_2}+\frac{1}{2V_2}=\frac{5}{2}t.$$
Esto significa que entre más carriles una conexión tenga, si la velocidad en la sección 2 es constante, más tardado es el trayecto total. Para aumentar la velocidad del flujo vehicular, se debe aumentar la velocidad de las salidas y disminuir el número de carriles.
Un análisis mas completo del flujo del tráfico se logra por medio de la ecuación de Burgers. Acá se modela al tráfico como un flujo incompresible. Con esta ecuación se toma la interacción entre vehículos, es decir, el factor psicológico entre los conductores. Una causante del tráfico es la reacción en cadena que los conductores realizan al frenar. Es el mismo efecto que se observa cuando un semáforo marca a verde. Hay un desfase entre el cambio del semáforo y comenzar a andar en el carro. Esto es debido al tiempo de reacción de los conductores y los que lo preceden en la cola.
De igual manera ocurre cuando se frena en la carretera, los conductores que vienen detrás experimentan ese mismo tipo de reacción, similar al de un fluido viscoso. Es por eso que la ecuación de Burgers representa una manera eficiente de modelar el flujo del tráfico.
¡Se pueden pensar cosas interesantes en el tráfico!
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