Series infinitas y ritmos musicales

Hace unos días veíamos propiedades de convergencia de series en mi clase de cálculo dos y algunos alumnos comenzaron a preguntar y mencionar sobre series divergentes. Hay un par de videos famosos sobre $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n=\frac{1}{2}$$ y $$\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}$$.

Al pensar sobre estas, se me estaba ocurriendo que tipo de regularizaciones pudieran hacerse codificando ritmos musicales como series infinitas.

Por ejemplo, el ritmo de rock and roll clásico puede realizarse con bombos en los tiempos 1 y 3 y caja en los tiempos 2 y 4.

Si codificamos un golpe de caja con un +1 y un golpe de bombo con -1, tendríamos que el ritmo de rock and roll estaría dado por

$$1-1+1-1+1-1+1-1+\dots$$

Esta serie se conoce como la serie de Grandi y es una serie divergente. Sin embargo, es posible regularizarla y otorgarle un valor numérico,

$$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n=\frac{1}{2}\,.$$

Ahora bien, regularizar una serie no significa que la serie sea igual a dicho valor, sino que significa que es posible hacerle corresponder un valor real a la serie de tal manera que ciertas propiedades de series sean satisfechas.

La mayoría de las regularizaciones de series vienen dadas dentro de un contexto físico, y en nuestro caso, de un patrón rítmico. El resultado asignado de $1/2$ puede interpretarse como que del total del ritmo, la mitad del tiempo se toca la caja y la otra mitad se toca el bombo.

Si por ejemplo vemos otro ritmo como el vals, este se representa en 3 tiempos, donde el 1 es el bombo y la caja se toca en el 2 y 3. Con nuestra codificación, el ritmo de vals se representa por medio de la serie

$$-1+1+1-1+1+1-1+1+1-1+1+1-\dots$$

Esta serie, al igual que la anterior diverge, pero al contrario de la primera, no es una serie tan famosa, por lo que es necesario trabajarla un poco para poder encontrar su valor de regularización.

Usualmente, el truco para regularizar una serie
$$\sum_{n=0}^\infty a_n$$
es agarrarla sucesión $\{a_n\}$ y construir una función analítica $f(x)$ basada en la sucesión. Luego se busca una representación en forma cerrada de $f(x)$ y se reemplaza el valor de $x$ que regularice la suma. Usualmente es común analizar funciones generatrices del tipo

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\,,$$

o bien, funciones L (funciones zeta) del tipo

$$g(s)=\sum_{n=0}^\infty a_nn^s\,.$$

En este caso, nuestra sucesión está dada por $$a_{n+1}=1-a_{n}-a_{n-1}, \qquad a_0=-1, a_1=1$$

Cuya solución general está dada por $$a_n=\frac{1}{3}\left(1-4\cos(2\pi n/3)\right)\,.$$

Teniendo el término general de la sucesión, es posible obtener la continuación analítica de $g(s)$, y nuestro valor deseado ocurre para $s=0$,

$$g(0)=-\frac{5}{6}$$.

Por ejemplo,  para otros ritmos

$$
\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}}\begin{array}{l|c|c}
\text{Ritmo} & \text{patrón} & \text{valor de la serie}\\
\hline
\text{Blues} & -1+0+0+1+0+0 &   -\frac{1}{2}\\
\hline
\text{Funk} & -1+0+1-1+0-1+1+0 &  -\frac{7}{8}\\
\hline
\text{DnB} & -1+0+1+0+0-1+1+0 &  -\frac{3}{8}\\
\hline
\end{array}$$

donde -1 representa el bombo, +1 la caja y 0 un tiempo no acentuado.