Sumas de potencias con Cauchy

Viendo mi TL en Twitter, me encontré con un resultado de matemática discreta que es un ejemplo clásico:

$$\sum_{i=1}^ni^3=\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2\,.$$

Recuerdo la primer vez que vi esto. Me pareció muy interesante el hecho de que las sumas cubos fuera simplemente el cuadrado de la suma de naturales. Este resultado se conoce como el Teorema de Nicómaco.

Para tratar de mostrar esto, se pueden definir las funciones generatrices de las sumas de potencias, con lo que aparecen polinomios de Bernoulli y Polinomios de Faulhaber, sin embargo, otra manera de describir estas sumas de potencias es por medio del análisis complejo.

Podemos analizar la función

$$f_0(z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{i=0}^\infty z^i\,,$$

dentro del círculo unidad. Definamos $f_n$ de manera recursiva como

$$f_n(z)=z f_{n-1}'(z)\,.$$

$f_n(z)$ es la función generatriz de las $n$-potencias. Entonces tenemos que si $s_n^k$ es la suma de las primeras $k$ potencias de grado $n$, $s_n^k$ es la suma de los primeros $k$ coeficientes de $f_n(z)$. Estos los podemos recobrar utilizando el teorema del residuo de Cauchy,

$$s_n^k=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f_n(z)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\dots+\frac{1}{z^{k+1}}\right)\,dz$$

$$=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f_n(z)\left(\frac{1-\frac{1}{z^{k+1}}}{z-1}\right)\,dz\,.$$

Para evaluar la integral anterior, debemos considerar $\gamma$ como un contorno al rededor de $z=0$ que esté estrictamente contenido dentro del círculo unidad.

Al calcular las funciones $f_n$ se obtienen los Números Eulerianos, los cuales obedecen una ecuación de recurrencia al estilo del triángulo de Pascal. No es difícil de observar que $f_n(z)$ será una función racional cuyo denominador es $(1-z)^{n+1}$.  Por lo tanto, es posible escribir

$$f_n(z)=\frac{g_n(z)}{(z-1)^{n+1}}\,,$$

donde $g_n$ es un polinomio cuyos coeficientes son los números Eulerianos.  Por lo tanto tenemos que las sumas de potencias pueden escribirse como

$$s_n^k=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{g_n(z)\left(1-\frac{1}{z^{k+1}}\right)}{(z-1)^{k+2}}\,dz\,.$$

Con esta representación, es posible utilizar la fórmula integral de Cauchy para reescribir esta expresión como una derivada,

$$s_n^k=-\frac{1}{(k+1)!}\frac{d^{k+1}}{dz^{k+1}}g_n(z)\left(1-\frac{1}{z^{k+1}}\right)\Big|_{z=1}\,,$$

Donde el signo menos viene de tomar el punto $z=1$ como interior a $\gamma$ al orientar la curva en sentido negativo.

Sustituyendo $n=1$ y $n=3$ se obtiene de forma inmediata el Teorema de Nicómaco.