La paradoja de pi=4

Hace unos días, Sergio Lopez-Permouth posteó un meme sobre por qué $\pi=4$

Este es un ejemplo interesante de por qué algunos procesos no son completamente continuos cuando realizamos un límite. Un resultado similar muestra que $\sqrt{2}=2$,

En ambos casos el problema principal ocurre al querer aproximar la longitud de arco por medio de segmentos infinitesimales verticales y horizontales. En este caso tenemos que este no es un sistema lineal, sino que cuadrático. Es decir,

$$ds\neq dx+dy\,,$$

sino que

$$ds^2=dx^2+dy^2\,.$$

En otras palabras, siempre tendremos triángulos infinitesimales y es por esto que se obtiene una aparente paradoja visual.

Dada que esta relación sí se cumple en orden cuadrático, es de esperar que el resultado sea verdadero, no acerca de los perímetros, sino sobre las áreas, como bien lo sugirió Mario Blanco. Esto es cierto dado que al remover los cuadrados se obtienen una suma de Riemann correspondiente al área del círculo. 

Si nos enfocamos en un cuadrante de la figura, por ejemplo

$$0\leq x\leq 1/2\,,y=\sqrt{1/4-x^2}\,, $$

tenemos que estamos realizando una suma de Riemann para la región entre

$$x=1/2\,, y=1/2\,, y=\sqrt{1/4-x^2}\,.$$

Es de notar que luego de la segunda etapa, los cuadrados obtenidos en la $n$-ésima etapa no tendrán todos el mismo lado. Por lo tanto es un tanto complejo escribir una serie que describa la suma de Riemann, sin embargo, sabemos que los lados de los cuadrados tienden a 0 cuando $n$ tiende a infinito, y esto asegura la existencia del límite y que sea igual a $1/4-\pi/4$.

Inicialmente quise escribir la serie, pero no me gustaría tener 20 páginas de ecuaciones, hay series más bonitas que describen $\pi$.