Envolventes cuadráticas

Muchos de nosotros quizá vimos cómo dibujar patrones curvos utilizando lineas rectas en clase de arte ( o si tuvimos suerte, en matemáticas). Al dibujar linear rectas y realizar corrimientos tanto verticales como horizontales, era posible dibujar patrones que poco a poco iban revelando curvas como un tipo de ilusión óptica emergente,

Siempre me llamó mucho la atención este tipo de curvas producto de una extrapolación de nuestro cerebro. Pero, ¿será posible describir esta envolvente?

Las lineas se construyen una a una comenzando por una que une los puntos $(0,a)$ y $(b,0)$. Luego, la siguiente une los puntos $(0,a-1)$ y $(b+1,0)$. Este proceso se repite hasta obtener el patrón anterior.

Este conjunto de lineas describe una curva envolvente. Para poder encontrar esta envolvente, podemos notar que la envolvente tendrá como lineas tangentes a las lineas del conjunto. Por lo tanto, podremos describir la curva envolvente por medio de una ecuación diferencial que relacione las ecuaciones de las lineas del conjunto con la derivada de la envolvente.

Para esto, hay que notar que la envolvente tendrá como puntos de tangencia los puntos medios de las intersecciones de las lineas.

Es posible entonces encontrar los puntos de tangencia como

$$\left(X_n,Y_n\right)=\left(\frac{(b+n)^2}{a+b},\frac{(a-n)^2}{a+b}\right)\,,$$

donde $n$ representa el número de linea considerado. Esto nos da la ecuación diferencial, 

$$f'\left(\frac{(b+x)^2}{a+b}\right)=-\frac{a-x}{b+x}\,.$$

con condición inicial, por ejemplo, 

$$\left(\frac{b^2}{a+b},\frac{a^2}{a+b}\right)\,.$$

Notemos que se puede generalizar la variable discreta $n$ que identifica a las lineas a la variable continua $x$. Esta ecuación diferencial puede resolverse por medio de una sustitución, lo cuál da,

$$f(x)=-2 \sqrt{x} \sqrt{a+b}+a+b+x\,.$$

La gráfica de esta función nos muestra como en efecto resulta ser la envolvente del conjunto de lineas, 

Esta función puede escribirse implícitamente como una ecuación entre $x$ e $y$. Esto nos lleva a describir que es una cónica de la forma, 

$$(y-x)^2+Ax+By+C=0\,,$$

la cuál, luego de realizar una rotación de ejes obtenemos que es una parábola rotada por -45°,

cuya ecuación con los ejes rotados $x'$ e $y'$ da las sustituciones 

$$x'=y-x\,,\quad y'=y+x\,,$$

obteniendo

$$x'^2+\left(\frac{B}{2}-\frac{A}{2}\right)x'+\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)y'+C=0\,.$$