La semana pasada durante el descanzo de inicio de primavera, pase una semana en guate y gracias a la invitación de un par de amigos, tuve la oportunidad de hablar un poco de las locuras que intento hacer en mi investigación.
Hablé sobre funciones zeta y pistones semitransparentes y mientras preparaba el contenido de lo que iba a decir, estuve buscando un poco sobre interpretaciones más naturales de las funciones zeta. Es bien sabida la interpretación de las funciones zeta como traza de operadores de kernel de calor, así que me surgió la curiosidad de buscar alguna interpretación geometrica de la traza de un operador.
En el caso finito dimensional, los operadores con los que trabajamos son matrices hermitianas, aunque este punto de vista es valido para cualquier tipo de matriz.
Para esto, consideremos el grupo de matrices $GL(n)$ de determinante no nulo de $n\times n$. Sea $P\in GL(n)$, hay varias formas de definir la función exponencial en $GL(n)$, una de ellas es por medio de la serie usual
$\exp(P)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}P^k$
la cual converge para toda $P$.
Una forma indirecta de definirla, es por medio de ver a la matriz $P$ en forma canonica diagonal, $P=SDS^{-1}$ donde $D$ está dada por
$D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \ddots& \\& & &\lambda_n\end{pmatrix}$
donde $\lambda_i$ son los valores propios de $P$. Entonces
$\exp(P)=S\begin{pmatrix}e^{\lambda_1} & & &\\ &e^{\lambda_2} & &\\ & & \ddots& \\& & &e^{\lambda_n}\end{pmatrix}S^{-1}$
Utilizando estas definiciones, no es dificil ver que la función exponencial cumple con
$det(\exp(P))=\exp(Tr(P))$
Por otra parte, se puede ver a $GL(n)$ como un subconjunto abierto de $\mathbb{C}^{n^2}$, y por lo tanto se puede realizar calculo en dicho grupo. La noción de $dP$ puede interpretarse como un diferencial total en $\mathbb{C}^{n^2}$. Así, es posible hablar de cálculo diferencial e integral en $GL(n)$. Esto no es más que cálculo en la variedad diferencial $GL(n)$.
Sea $P_0\in GL(n)$ una matriz cerca de $P$, y defínase
$\log(P)=\int_{P_0}^P P^{-1}dP$
donde la integral puede definirse por medio de una integral de linea, parametrizando un camino en $GL(n)$ desde $P_0$ hasta $P$.
Sea $Q=\exp(P)$, y sea $Q_t:[t_0,T]\to GL(n)$ la parametrización de una curva desde $Q_0=\exp(P_0)$ hasta $Q=\exp(P)$. Por lo tanto,
$det(Q)=\exp(Tr(\log(Q)))$,
$\log(det(Q))=Tr\left(\int_{t_0}^TQ_t^{-1}\frac{dQ_t}{dt}dt\right)$
y tenemos que
$\int_{t_0}^T det(Q_t)^{-1}\frac{d\, det(Q_t)}{dt}dt=\int_{t_0}^T Tr\left(Q_t^{-1}\frac{dQ_t}{dt}dt\right)$
por lo que las 1-formas son iguales
$det(Q)^{-1}d\, det(Q)=Tr\left(Q^{-1}dQ\right)$
en otras palabras, tenemos que
$d\, det(Q)=det(Q) Tr\left(Q^{-1}dQ\right)$
Esta identidad resulta ser muy útil y encierra mucha información geometrica sobre las matrices. Como es conocido, la interpretación del determinante de una matriz de $n\times n$ es el volumen (con signo) del paralelepípedo en $n$ dimensiones generado por los $n$ vectores columna de la matriz, así que por medio de la ecuación anterior, podemos decir que la traza de una matriz de aluna forma nos está dando la razón de cambio del volumen generado por los vectores columna.
Este resultado me pareció de gran interés, puesto que en el caso finito dimensional, relaciona funciones matriciales un tanto extrañas en naturaleza, pero comunmente utilizadas, con nociones geométricas muy fácilmente comprensibles.
Como todo en la vida, creo que esta conección a nivel de dimensión finita, tiene una contrapartida en el caso general, sin embargo aún estoy pensando como formalizar este concepto, pero creo que la idea general es tratar de establecer una relación entre la variación de la curvatura de un espacio y el determinante y traza de cierto tipo de operadores lineales. En cierto modo, esto tiene relación con flujos de Ricci y como evoluciona el volumen de una variedad através del tiempo. La conección natural parece ser, de nuevo, el teorema espectral para operadores lineales autoadjuntos y posiblemente compactos.
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