Projectivizations and orthogonal groups

Few days ago, I went to a summer school in algebraic geometry in Peru, and ithere was one course in projectivization of some special types of curves and properties of them.

One of the examples was doing the projectivization of a general conic over $\mathbb{C}^n$ and finding some nice properties that the resulting curves have.

The idea of the projectivization of a curve, is to grab the domain of definition and then do its compactification, for instance, in the case of a conic in $\mathbb{C}^2$, the result is to have a conic in a sphere (Riemann sphere). Algebraically, the idea is to have a curve defined as the zero set of a polynomial, for example, $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2=0$ with $(a,b,c)\in\mathbb{C}^3$, and then to extend the domain where the parameters are defined, i.e. $[a:b:c]\in\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$.

The speaker was talking about the cases in dimension 2 and 3, where the proyective spaces are $\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$ and $\mathbb{P}(\mathbb{C}^5)$ , and she defined a nice realization of the later one as the set of $3\times 3$ complex symmetric matrices, i.e.

$p(x,y,z)=a_1x^2+a_2xy+a_3xz+a_4y^2+a_5yz+a_6z^2$

$\mapsto \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ a_2 & a_4 & a_5 \\ a_3 & a_4 & a_6 \end{pmatrix}$

This reminded me of the good old $O(3)$ with some differences. First of all, we have complex entries in our matrix, and second, the entries must satisfy and extra condition, we identify set of parameters with a common factor ($A\sim B$ iff $A=\lambda B$ for some $\lambda\in\mathbb{C}^x$), that is, the matrix defines the same curve up to a scalar multiple, which means that we need to scale it in some sense.

This two things can be fixed by considering $SO(3)$ instead of the whole $O(3)$ and then, by doing its complexification, $SO(3)\times_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$.

So, my natural conjecture was that

$\mathbb{P}(S^n_2)\sim SO(n)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$

where $S^n_2$ is the space of homogeneous polynomials with degree 2 in $n$ variables and the isomorphism is as complex manifolds.

After discussing with a couple of people, I found that there were reasons to believe that this is true, since some topological properties of both spaces matched, but so far, I haven't found yet a formal proof of this fact.

In the case of this being true, it would turn out to be a really interesting property, since the object on the right is a Lie group, being isomorphic will imply that one can define a group structure in the set of conics, which is rather an interesting fact.

El calor y la redondez de los objetos

Una pregunta muy tonta aparentemente es la de ¿cómo saber si un objeto es plano o no?, sin embargo, al tratar de determinar si algo es plano o no, frecuentemente nos referimos a algún objeto patrón, el cual acordamos en decir que es plano, pero cómo saber si es plano en realidad, y más aún, ¿qué significa que algo sea plano?

Esta linea de pensamientos anterior puede resultar un poco sin sentido y muy abstracta, sin embargo al meditar sobre el asunto es posible darse cuenta del problema latente que se tiene en esta situación. Nuestra referencia de algo plano está dada principalmente por la superficie del suelo en donde vivimos, la cual, desafortunadamente, no es para nada plana.

En términos matemáticos, la pregunta es cómo saber si un objeto tiene curvatura $0$ o no. Una manera indirecta de aproximarse a la respuesta es por medio de la propagación del calor.

Por ejemplo, para determinar si una superficie es plana o no, bastaría con aplicarle una fuente de calor puntual y analizar las curvas isotérmicas, si éstas son círculos, entonces la superficie tiene curvatura constante, y en especial, si es $0$, la superficie es plana (un plano o un cilindro)

Para lograr determinar en sí si se trata de un plano o no, es posible analizar el flujo del calor a cortos tiempos. Básicamente, si el calor se propaga aproximadamente a una razón constante o menos, entonces la superficie es plana. En otras palabras, la forma más lenta en que el calor puede propagarse es en un medio plano, lo cual tiene sentido, puesto que al haber curvatura, existe más proximidad entre las partículas del material y por lo tanto el calor puede propagarse a mayor velocidad.

Esto puede obtenerse por medio de analizar la ecuación de propagación de calor, la cual en coordenadas locales puede escribirse como

$\Delta f(x,t) =\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}$

donde $\Delta$ es el laplaciano en $\mathbb{R}^2$ y $x\in M$ una variedad diferencial compacta sin frontera de dimensión 2.

Unos de los métodos más comunes para resolver esta ecuación es por medio de la utilización del kernel o núcleo de calor $K(t,x,x')\in C^\infty\left(\mathbb{R}^+\times M \times M\right)$, el cual da una solución a la ecuación diferencial con condición inicial $f(x,0)=g(x)$

$f(x,t)=\int_M K(t,x,y)g(y)dy.$

Para tiempos cortos, ie. $t\to 0$, se tiene la expansión asintótica del kernel

$K(t,x,x)\sim t^{-1}\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x)t^{k}$

en donde los coeficientes del kernel de calor dependen unicamente de la variedad $M$, su métrica y sus derivadas.

Es un resultado conocido que el primer coeficiente $a_0$ es un múltiplo de la curvatura escalar de la variedad, y en nuestro caso, estamos interesados en que esta sea $0$, por lo tanto para que la superficie sea plana, debemos tener que para tiempos pequeños ($t\sim 0$)

$K(t,x,x)\sim a_1(x)+a_2(x)t+O(t^2)$

por otra parte, si la curvatura escalar no es cero, se tiene que la expansión del kernel es

$K(t,x,x)\sim a_0(x)t^{-1}+a_1(x)+a_2(x)t+O(t^2)$

cuyo término predominante a pequeños tiempos es $a_0$, el cual hace que la propagación del calor sea más rápida, del orden de $t^{-1}$.

Una consecuencia curiosa de este análisis es el hecho que el hecho de que una superficie sea plana o no depende de la rapidez del flujo de calor, en otras palabras, el que una superficie sea plana, no es solamente una propiedad de las dimensiones espaciales de dicho objeto, sino que también de la dimensión temporal en la que está inmerso.

Este hecho da indicios de una relación más intima entre las dimensiones espaciales y temporales, y que al final de cuentas, no están tan desligadas unas de otras.