Acciones y el Teorema de Noether

Este semestre estoy tomando una clase de teoría de invariantes. Básicamente la clase trata de estudiar los espacios invariantes resultantes de una acción de un grupo sobre un espacio vectorial y de analizar la descomposición de las órbitas en subespacios invariantes. Es un tema muy interesante y divertido de estudiar. 

Unos de los invariantes más famosos ocurren en el estudio del álgebra lineal. Que la traza y el determinante de una matriz permanecen igual bajo cambios de bases son resultados que provocan el deleite de chicos y grandes. Acá lo que se hace es que se estudia el espacio $M_n$ de las matrices $n\times n$, digamos, sobre el campo de números complejos, luego se ve la acción del grupo $U(n)$ sobre $M_n$ por medio de

$g.A\mapsto g^{-1} A g$

y se analizan los invariantes de la acción. 

Ya que $\det$ es un homomorfismo de anillos entre matrices y números complejos, tenemos que el determinante de una matriz es preservado por la acción:

$\det(A)=\det (g.A)$

y de acá podemos ver que el polinomio característico de $A$ es otro invariante de la acción. Con esto, los coeficientes del polinomio característico también son conservados por el cambio de base, y según las formulas de Vieta, dichos coeficientes son simplemente las funciones simétricas elementales de los valores propios de la matriz $A$, siendo el término constante el determinante de la matriz y el término de grado $n-1$ la traza de la matriz. 

Luego de analizar un poco esta situación, nos damos cuenta que la única información relevante de una matriz $A$  para esta acción son los valores propios de la misma. En cierto sentido esta es la información que se conserva al efectuar la acción. 

De una manera similar, al considerar la acción de $SL(n)$ sobre $M_n$ por 

$g.A\mapsto gA$

se tiene que la cantidad conservada por esta acción es $\det(A)$. 

Este fenómeno es un poco más conocido en el ámbito físico. Es muy sabido que dentro de un sistema, las simetrías corresponden con cantidades conservadas. Quizás esto sea un poco más familiar al ser referido por su nombre artístico, el Teorema de Noether. Muchos hemos visto la prueba de este teorema, la cual quizás es un bonito ejercicio de calculo multivariado, en donde se utiliza el concepto de simetría para encontrar que la el cambio de una cantidad del sistema es 0. 

Una simetría de un sistema no es más que un invariante proveniente de la acción de un grupo. 

Por ejemplo, en la animación la acción es rotación (multiplicación por un complejo unitario) y la cantidad conservada es la norma del número complejo. En otras palabras, al ver las órbitas de la acción del grupo se obtienen las cantidades conservadas por dicha acción. Es importante el notar que las órbitas proveen una forma de visualizar el grupo que actúa sobre el espacio vectorial, por ejemplo en la anterior animación es posible ver que la forma del grupo que actúa es un circulo (complejos unitarios). Por esta razón es que el estudio de las acciones de grupos recibe el nombre de teoría de la representación, puesto que al ver las acción del grupo se ve indirectamente la forma del grupo en sí. 

La idea es que una acción de un grupo puede relacionarse con una acción local de su álgebra de Lie sobre el espacio tangente, o equivalentemente, la derivada de la acción puede verse como una especie de campo vectorial definido sobre el espacio vectorial. El espíritu del teorema de Noether es que, al igual que pasa en calculo multivariado, la integral cerrada sobre cualquier superficie de un campo conservativo siempre da 0, es decir se tiene una conservación del flujo del campo vectorial. 

Es posible pensar que la acción de un grupo produce de alguna manera un campo conservativo puesto que en la mayoría de los casos las acciones son bien portadas, es decir, son suaves. El problema con campos conservativos es que tienen singularidades, cosa que no pasa con una acción bien portada. 

Al ser el flujo conservado dentro de una superficie cerrada, esto da que la cantidad de masa dentro de la superficie es una cantidad conservada. 

Lo interesante es ver que cada vez que se tiene una acción sobre un espacio vectorial se pueden encontrar cantidades conservadas, aunque el encontrar dichas cantidades algunas veces es una tarea un poco difícil.