Viernes 13

Como si no fuera poco con toda la propaganda sobre el fin del mundo, este 2012 comienza con otro indicio de mala suerte, hoy es viernes 13.

Tradicionalmente el viernes 13 ha sido catalogado como un día de mala suerte en muchas culturas del mundo, aunque posee una mayor influencia en la cultura anglosajona. En latinoamérica también es acostumbrado atribuirle malos augurios al martes 13, aunque ultimamente ha perdido seguidores quizás por la gran influencia cultural que el sistema anglo tiene sobre el resto del continente. También es curioso que en ambos casos la fecha es un número primo, aunque quizás tenga más relación con el hecho de que 13=12+1 (algo parecido pasa con el 6 y el 7).

Recuerdo que hace unos años atrás, en una clase de entrenamientos de olimpiadas surgió el tema del viernes 13. Estabamos recibiendo clase de probabilidades y nuestro profesor nos hizo el comentario acerca de que tan probable era en realidad que hubiera un viernes 13.

Si vemos tan solo la probabilidad de que el dia 13 de un mes sea viernes, estaríamos tentados a decir que dicha probabilidad es $1/7$, puesto que hay 7 posibles días de la semana (lunes, martes, etc.). Sin embargo el día de la semana y la fecha no son eventos completamente independientes, por lo tanto nuestro $1/7$ no es del todo correcto.

Para poder calcular la probabilidad correcta, es necesario contar cuantas veces un viernes 13 puede ocurrir. Para esto notamos que un mes tendrá un viernes 13 si dicho mes comienza en domingo. Este año 2012 habrán 3 viernes 13, en enero, en abril y en julio. Ahora, para poder calcular la probabilidad de un viernes 13 hay que tener claro lo que significa calcular la probabilidad. La forma más elemental de hacer esto es dividir el número de casos buscados sobre el número de casos totales, y para esto necesitamos saber que se entiende por casos totales en este contexto. Si el universo sobre el cual calculamos nuestra probabilidad es el número de viernes que hay en un año, tendríamos que nuestra probabilidad es $3/52$, ya que este año habrán 52 días viernes en total. Si por otro lado nuestro universo es el número de días 13, la probabilidad sería $3/12$, así que la pregunta central es ¿qué significa la probabilidad de un viernes 13? ¿Queremos calcular la probabilidad que un viernes sea 13? o ¿la probabilidad que un día 13 sea viernes? o ¿la probabilidad que un día sea viernes y sea 13? Creo que la ultima pregunta es la que describe mejor lo que andamos buscando, por lo tanto para el año 2012 tendríamos que la probabilidad es $3/366$.

El caso de 2012 es un caso especial, dado que es un año bisiesto, pero en general para calcular la probabilidad de que haya un viernes 13, es necesario analizar más detenidamente el calendario gregoriano. Al principio parecería suficiente ver dos casos, cuando el año es bisiesto y cuando no, sin embargo el calendario gregoriano es un poco más elaborado y un análisis un tanto más riguroso es necesario. 

Nuestro calendario tiene un período de 400 años, es decir, cada 400 años se repite exactamente el calendario, por ejemplo el 2412 comenzará en un domingo y habrán exactamente 3 viernes 13. Por lo tanto, contando el número de viernes 13 en un período de 400 años y dividiendo esto dentro del número total de días dará la probabilidad exacta de que haya un viernes 13.

Calculando este número (ya sea viendo un calendario, escribiendo un programa en excel o buscando en internet) da un total de 688 veces, así que dicha probabilidad es

$\frac{668}{149067}\sim 0.004481206437373798359127103919714$

Lo cuál es una probabilidad muy pequeña, sin embargo no es tan pequeña como para ser considerada de mala suerte. De hecho la mayoría de días 13 son viernes, por ejemplo, este año habrán 1 domingo, 2 lunes,

2 martes, 1 miércoles, 2 jueves, 3 viernes y 1 sábado que caerán días 13. Haciendo la misma cuenta sobre un período de 400 años es posible ver la distribución de días 13 en la semana. Tenemos que hay un total de 687 domingos, 685 lunes, 685, martes, 687 miércoles, 684 jueves, 688 viernes y 684 sábados que caen día 13, así que los viernes 13 son de hecho los días que más abundan, siendo los jueves 13 los menos frecuentes.