Hace unos días hablábamos con Vinicio sobre la naturaleza de los números reales. Tradicionalmente los reales se dividen en naturales, enteros, racionales e irracionales.
$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\,,\qquad\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}=\mathbb{R}\,.$$
Históricamente esta clasificación de los números viene dada por las propiedades algebraicas que presentan. Primero tenemos a los números naturales que surgen de la necesidad del hombre de contar sus bienes. Contar ovejas, alimentos, terreno, etc. Al iniciar las relaciones comerciales se ve la necesidad de "juntar" y "quitar" objetos, así como de representar deudas y créditos. Con esto surgen los números enteros.
Hasta este punto, los números eran nada más utilizados para contar, ya sea lo que se tiene o lo que se debe, sin embargo con el desarrollo de la geometría, la construcción y la fabricación de objetos, aparece otra necesidad en el ser humano: medir.
Los racionales surgen de considerar mediciones y proporciones entre estas. Hubo que esperar muchos cientos de años hasta que se consideró un conjunto más completo de números. Los reales son obtenidos por medio de considerar la noción de límite. Esto viene de realizar el paso entre lo discreto y lo continuo.
Algebraicamente se puede describir esto partiendo de $\mathbb{N}$ como el conjunto base dotado de suma. Luego $\mathbb{Z}$ se obtiene al considerar también la resta. Resulta ser que los enteros admiten multiplicación, y para obtener los racionales, se considera la división. Los reales aparecen con el cálculo integral y diferencial.
Sin embargo, otra forma muy interesante de realizar esta clasificación de los números viene de estudiar sus propiedades por medio de analizar funciones sobre ellos.
Los enteros surgen de considerar ecuaciones del tipo
$$x+n=0\,,$$
donde $n$ es un natural. Esta ecuaciones tendrá soluciones enteras, mas no naturales (excepto $n=0$). Similarmente, al considerar las ecuaciones del tipo
$$bx-a=0$$
con $a,b$ enteros y $b\neq0$, tenemos que las soluciones son racionales.
Esta es la idea detrás de los números algebraicos, los cuales son soluciones de polinomios sobre enteros.
Los algebraicos incluyen a los racionales, sin embargo números irracionales como $\sqrt{2}$ son algebraicos. También hay reales que no so algebraicos, tal es el caso de $e$ y $pi$. Estos se llaman trascendentes.
Una forma de seguir clasificando a los reales por características de este tipo es por medio de considerar soluciones reales a ecuaciones del tipo
$$f(x)=0\,.$$
Para $f$ un polinomio de grado $n$, se dice que $x$ es un algebraico de grado $n$. Es decir, si $f$ es de la forma
$$f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\,,$$
con $a_k\in\mathbb{Z}$ (o equivalentemente $a_k\in\mathbb{Q}$).
Siguiendo con esta idea, podemos definir los números analíticos como aquellos que son soluciones de funciones de la siguiente forma
$$\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\,$$
para series con un radio de convergencia positivo. Con esto tenemos que $pi$ es analítico, ya que para $$f(x)=\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$
$$f(x)=e^x-2=-2+\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k$$
anula a $\ln(2)$. Sin embargo, parece ser que $e$ no es analítico, pero $e-1$ si lo es. Lo extraño de esto viene de que acá consideramos convergencia y ya no es posible en general reordenar términos en las series sin afectar la convergencia.
Aunque los analíticos parecieran cubrir una porción mucho más grande de los reales, estos son nada mas contables. Esto se puede ver dado que cada coeficiente $a_k$ es racional, y tenemos un numero contable de estos. Además, las funciones analíticas distintas de cero solo tienen un numero contable de ceros.
Otro tipo de números que pueden definirse siguiendo esta linea son los números meromorfos, los cuales vienen de encontrar los ceros de funciones de la forma
$$f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_kx^k\,,$$
con $a_k\in\mathbb{Q}$. Por la misma razón de antes, estos también seran solo un número contable, así que faltan muchos más por clasificar. Quizás esta linea pueda seguirse para poder ir abarcando poco a poco la totalidad de los reales.
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