¿Cómo se oye el cubo de Rubik?

Hace algunos días encontré una charla TED-Ed muy interesante sobre como relacionar al cubo de Rubik con la música.

Describe un poco la matemática detrás de la resolución del cubo de Rubik presentando los conceptos de grupo, permutaciones, y de como esta estructura matemática puede recibir una interpretación musical.

Ciertas técnicas en teoría musical son precisamente transformaciones realizadas por elementos de un grupo, lo que en matemática se conoce como una acción. Con esta idea se puede poner en práctica lo sugerido por el video y establecer una acción sobre las notas musicales como melodía y acordes para general una representación auditiva de la resolución de un cubo de Rubik.

Para esto podemos comenzar con una configuración del cubo de Rubik como la de la figura. Primero establecemos una forma de codificar las notas musicales con colores

La acción del grupo de permutaciones del cubo sobre las notas musicales está dada por:

• En la cara superior, cada color representa una nota en la melodía en corcheas, comenzando en la esquina verde y en la dirección usual de lectura, izquierda a derecha, arriba a abajo.
• En la cara superior, cada color en las esquinas representa una nota que determina un acorde en la armonía.

Con esto, cada paso para resolver el cubo transforma las caras y por lo tanto define una nueva configuración de melodía y armonía. Así, siguiendo esta configuración inicial se obtienen 58 compases con los 58 pasos para resolver el cubo.  La resolución paso a paso del cubo puede seguirse acá.

El resultado es este:

Es posible variar la acción para añadir más melodía y armonía empleando todas las caras del cubo en vez de centrarse solo en una, pero eso será para otra ocasión.

An infinity between countable and uncountable

In my discrete math class we are talking about functions and cardinalities.

On of the outstanding results of formalizing set theory is the fact that there are different types of infinities,  that is, there is something bigger than infinity, or at least bigger than the usual infinity that we think about. 

One way of dealing with these infinities is by using cardinal numbers.  

These have arithmetic properties, that is, we can add, multiply, and even exponentiate. However, the way of understanding  these operations resort in set theoretical definitions. For example, adding two cardinals amounts to make the union of two disjoint sets, to multiply is to do the cartesian product, and exponentiation is related to finding all the functions from one set into the another. 

Since these operations are well behaved, that is, they satisfy the usual commutativity, associativity, and distributivity properties, we could think of mimicking the construction of rational numbers using cardinals.

Let $\mathcal{N}$ be the set of cardinals smaller than a given cardinal $\mathfrak{w}\geq 1$ and consider the equivalence relation $\sim$ on $\mathcal{N}\times\mathcal{N}$ given by:

$$(\mathfrak{a},\mathfrak{b})\sim(\mathfrak{c},\mathfrak{d}) \text{ iff } \mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}=\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c}\,.$$

We need to only consider the cardinals smaller than a given one since we cannot construct the set of all cardinals. Thus, with this, let $\mathcal{Q}=\mathcal{N}\times\mathcal{N}/\sim$ and define $+,\cdot$ as

$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]+[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]=[(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}+\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c},\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{d})]$$

$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]\cdot[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]=[(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{c},\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{d})]\,.$$

These are well defined, and $[(1,1)]$ and $[(0,1)]$ serve as the multiplicative and additive identities respectively. Thus $\mathcal{Q}$ is a (commutative) ring. The order provided on the cardinals gets lifted to the quotient:

$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]\leq[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]\text{ iff } \mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}\leq\mathfrak{c}\cdot\mathfrak{b}\,.$$

Thus, we can also abstract the construction of the real numbers using Dedekind cuts using these cardinal rationals. 

Consider Dedekind type cuts of $\mathcal{Q}$, that is, a partition $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}=\mathcal{Q}$ such that 

$$\forall\mathfrak{a}\in A\text{ and } \forall\mathfrak{b}\in\mathcal{B},\mathfrak{a}<\mathfrak{b}\,.$$

By considering all possible Dedekin type cuts, we can form a new set that behaves like the real numbers, in the sense that it becomes totally ordered and complete.

This suggests that we could do some sort of infinite calculus, with limits and derivatives, which would be nice.

PS: The relation $\sim$ defined above is not an equivalence relation (it fails to be transitive) and hence making the construction not to be a partition of $\mathcal{N}\times\mathcal{N}$, so a good way to make the construction work is by defining a better $\sim$ that makes this posible. If you can find it, maybe we can truly have infinities that behave like the real numbers.