Como parte de mi investigación he estado estudiando formas de regularizar ciertas series que a primera vista resultan divergentes. Para esto se han desarrollado muchas técnicas de regularización y yo me he enfocado en utilizar funciones zeta.
Actualmente estoy estudiando un problema relacionado con sumas de Tornheim-Mordell y comencé a utilizar técnicas de análisis complejo para resolver el problema. Básicamente las herramientas más poderosas se basan en el Teorema del Residuo y sus muchas versiones. Un pariente cercano de este resultado es la Transformada de Mellin, la cual resulta ser una Transformada de Fourier disfrazada.
En términos simplistas, lo que dicen estos resultados es que es posible evaluar una integral de contorno por medio de ver los residuos que quedan encerrados. Desde un punto de vista más físico, es el equivalente al Teorema de Gauss. Esta interpretación física resulta muy interesante, pues da una intuición de qué cosas esperar. Por ejemplo, resulta natural esperar que exista algún tipo de conservación de energía o carga eléctrica. En el caso de funciones de variable compleja, tomando en cuenta algunas consideraciones, es posible tener esta conservación. En el plano complejo, esta conservación se traduce en que la suma de los residuos de la función suman cero,
$$\sum_{a\in\text{Polos simples}} \text{Res}(f(z),a)=0\,.$$
Sin embargo, en funciones sencillas como $f(z)=1/z$ parece que esto no aplica. Esta aparente falla se debe a que estamos olvidándonos de lo que sucede en $z=\infty$. Las funciones también pueden tener un residuo en infinito, y en este caso el residuo resulta ser
$$\text{Res} (f(z),\infty)=\text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}f(1/z),0\right)=\text{Res}\left(-\frac{z}{z^2},0\right)=-1\,.$$
Con esta idea en mente, es posible estudiar lo que ocurre con funciones más interesantes. Por ejemplo, consideremos la función
$$f(z)=\pi \csc(\pi z)\,.$$
Esta tiene polos simples para $z=n,n\in\mathbb{Z}$ con residuos
$$\text{Res }(\pi \csc(\pi z),n)=(-1)^n\,.$$
Al tratar de calcular el residuo en infinito, tenemos que da $\pm\infty$, lo que intuitivamente querría decir que tenemos un polo de mayor orden en infinito. Por lo tanto, podemos hacernos un poco los locos y decir que
$$\text{Res }(\pi \csc(\pi z),\infty)=0.$$
Si calculamos la integral de $f(z)$ a lo largo de una recta vertical, podemos pensar que estamos calculando la integral cerrada que pasa por infinito del semiplano izquierdo. (El contorno $L$ encerraría el semiplano izquierdo dada la convención de que el interior de una región siempre queda a la izquierda de la dirección en que se recorre el borde, es decir, la dirección anti-horaria es positiva). Como $f(z)$ no tiene residuo en infinito, podemos esperar que la integral sobre $L$ será finita siempre y cuando $L$ no pase por ninguno de los polos finitos $z=n$. Por ejemplo tomemos $L$ como la recta vertical $\Re(z)=1/3$. Entonces
$$\frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)dz=\frac{1}{2\pi i}\int _L \pi \csc(\pi z)dz=\frac{1}{2}\,,$$
donde la integral puede facilmente calcularse. Ahora podemos hacer uso de la interpretación anterior y pensar que la integral en realidad puede calcularse sumando los residuos encerrados dentro de la región determinada por $L$,
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^{-n}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n=\frac{1}{2}\,.$$
La serie de la izquierda se conoce como la Serie de Grandi y ¡claramente es divergente! Una forma sencilla de verlo es el criterio de Leibniz, sin embargo al regularizar esta suma por diversos métodos se obtiene el resultado de $1/2$. Leibniz estudió esta serie y fue el primero en introducir cierto rigor en su cálculo. Fue duramente criticado, sin embargo Euler lo apoyó y fue así que comenzó el estudio se series divergente.
Podemos decir que la divergencia de la serie de Grandi se refleja en el hecho de que $f(z)$ tiene un polo en infinito, sin embargo al ser un polo de orden mayor, aún resulta posible obtener un valor regularizado para la serie, no en el sentido usual de convergencia, sino en un sentido más profundo.