¿Quién al ir a un restaurante no ha hecho trocitos los palillos de dientes mientras espera la comida? A pesar que partir palillos en muchos pedazos suena una alternativa para matar el tiempo de espera, una pregunta un poco mas interesante es calcular la probabilidad que al quebrar dos veces el palillo, los 3 segmentos resultantes constituyan los lados de un triángulo.
A primera vista parece que esto siempre se puede hacer, sin embargo al probar unas cuantas veces, uno se da cuenta que pocas veces se logra constuir un triángulo con los pedazos.
Para lograr calcular exactamente cual es la probabilidad de que esto ocurra, podemos hacer un modelo de que es lo que pasa al quebrar un palillo dos veces,
Para tener que dichos pedazos logren formar un triángulo, debemos tener que las longitudes cumplan la desigualdad del tríangulo.
Si tenemos un triángulo con lados $a,b,c$, la desigualdad del triángulo dice que $a\leq b+c$ $b\leq c+a$ y $c\leq a+b$. Aún más, si se tienen 3 reales que satisfacen dichas desigualdades, es posible construir un triángulo cuyos lados seas dichos reales. Asi que si $x,y$ y $1-x-y$ satisfacen dichas desigualdades, tendremos que es posible construir un triángulo a partir de los pedazos.
Para lograr encontrar la probabilidad, primero debemos hallar el total de casos posibles, y para eso encontramos los posibles resultados al quebrar el palillo, es decir, la región donde $0\leq x$, $0\leq y$ y $0\leq 1-x-y$. Dicha región está dada por
Así que el área total del espacio muestral es $1/2$. Para calcular el total de casos favorables, debemos tener que se satisfagan las desigualdades del triángulo, es decir, $x\leq 1-x-y+y$, $y\leq 1-x-y+x$ y $1-x-y\leq x+y$, lo cual da la región
cuya área es $1/8$, por lo que la probabilidad de lograr construir un triángulo está dada por
$\frac{\text{casos en los que se forma un triangulo}}{\text{casos totales}}=\frac{1/8}{1/2}=1/4$
Así que en un 25% de los casos, es posible construir un triángulo con dichos pedazos, lo cual resulta ser mucho menos de lo esperado, asi que la proxima vez que vaya a un restaurante, intentelo al menos 4 veces.
A primera vista parece que esto siempre se puede hacer, sin embargo al probar unas cuantas veces, uno se da cuenta que pocas veces se logra constuir un triángulo con los pedazos.
Para lograr calcular exactamente cual es la probabilidad de que esto ocurra, podemos hacer un modelo de que es lo que pasa al quebrar un palillo dos veces,
Para tener que dichos pedazos logren formar un triángulo, debemos tener que las longitudes cumplan la desigualdad del tríangulo.Si tenemos un triángulo con lados $a,b,c$, la desigualdad del triángulo dice que $a\leq b+c$ $b\leq c+a$ y $c\leq a+b$. Aún más, si se tienen 3 reales que satisfacen dichas desigualdades, es posible construir un triángulo cuyos lados seas dichos reales. Asi que si $x,y$ y $1-x-y$ satisfacen dichas desigualdades, tendremos que es posible construir un triángulo a partir de los pedazos.
Para lograr encontrar la probabilidad, primero debemos hallar el total de casos posibles, y para eso encontramos los posibles resultados al quebrar el palillo, es decir, la región donde $0\leq x$, $0\leq y$ y $0\leq 1-x-y$. Dicha región está dada por
Así que el área total del espacio muestral es $1/2$. Para calcular el total de casos favorables, debemos tener que se satisfagan las desigualdades del triángulo, es decir, $x\leq 1-x-y+y$, $y\leq 1-x-y+x$ y $1-x-y\leq x+y$, lo cual da la región
cuya área es $1/8$, por lo que la probabilidad de lograr construir un triángulo está dada por
$\frac{\text{casos en los que se forma un triangulo}}{\text{casos totales}}=\frac{1/8}{1/2}=1/4$
Así que en un 25% de los casos, es posible construir un triángulo con dichos pedazos, lo cual resulta ser mucho menos de lo esperado, asi que la proxima vez que vaya a un restaurante, intentelo al menos 4 veces.
Hola.
ReplyDeleteQue interesante, al parecer estas considerando que un con segmentos de longitudes uno dos y tres se puede formar un triángulo (por que estas tomando en las desigualdades $\leq$ y no $<$), de todos modos supongo que en caso de tomar $<$ en lugar de $\leq$, el resultado será el mismo por que en este caso lo único que se le quitará a la región probable es su borde ¿no?
Saludos.
P.D: Esta genial tu blog, planeo seguirlo de ahora en adelante, quería saber si hay alguna manera de tener un perfil propio (no tengo blog, solo correo electrónico).
Si, es correcto, si cambiamos las desigualdades a desigualdades estrictas, la probabilidad seguiría siendo la misma.
ReplyDeleteCreo que si se puede tener perfil, si tenes correo de gmail creo que deja usarlo.
Ok.
ReplyDeleteGracias por confirmar.
Saludos.
P.D: Ya pude comentar con mi cuenta de gmail :D.
esto se puede demostrar con el teorema del coseno??
ReplyDeleteEs posible utilizar trigonometria para calcular las areas, pero dado a que estos son triangulos rectangulos es menos complicado el usar geometria euclideana
ReplyDeletey cual es la probabilidad de que ese triangulo sea equilatero?
ReplyDeleteLa probabilidad es cero, ya que es un caso particular
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