Probabilidad de primos y la función mu de Möbius

Hace un par de días me puse a jugar un poco con la distribución de primos y con algo que he denominado primos de orden k, y me topé con una interpretación probabilistica de un resultado que involucra la función $\mu$ de Möbius.

Nunca en realidad he llevado un curso formal sobre teoría analítica de números, ni nada parecido con teoría de números avanzada, por lo tanto no había analizado la posible motivación detrás de la definición de la función $\mu$.

Para un natural $n$, $\mu(n)$ se define como 0 si $n$ tiene un factor primo cuyo exponente es mayor que 1, y $(-1)^k$ si $n$ tiene $k$ factores primos diferentes. Por lo tanto esta función es diferente de 0 únicamente para los números libres de cuadrado, -1 si el número posee un número impar de factores, y 1 si posee un número par.

Al principio, esta definición suena muy artificial, sin embargo, desde un contexto diferente, se puede tener una concepción un tanto más natural.

Supongamos por un momento que tenemos un entero cualquiera y queremos calcular la probabilidad que este sea compuesto. Bueno, si conocemos explicitamente dicho número podemos responder esta pregunta deterministicamente, sin embargo, si escogemos un número al azar, podemos hablar de la probabilidad de que sea compuesto.

Bueno, si un número es compuesto, esto significa que es producto de primos, así que podemos calcular dicha probabilidad $P$ encontrando cuál es la probabilidad que sea un multiplo de 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Obviamente, la probabilidad que un número sea multiplo de 2 es $1/2$, puesto que la mitad de los numeros son pares, de igual manera, $1/3$ de los números son multiplos de 3 y así, la probabilidad de ser múltiplo de $p$ es $1/p$.

Por lo tanto, para calcular la probabilidad total, no es dificil convenserse que es necesario utilizar el principio de inclusión-exclusión para calcular la probabilidad de ser multiplo de algún primo, es decir, de ser compuesto.

Con esto, la probabilidad queda

$P=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\dots-\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{2\cdot 5}-\frac{1}{3\cdot 5}-\dots+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 5}\dots$

Tratando de reescribir esta expresión, no es dificil concluir que esto se puede escribir como

$\sum_{n=2}^\infty \frac{a_n}{n}$

en donde $a_n$ es 0 si $n$ tiene factores primos repetidos, $1$ si $n$ es elproducto de un número impar de primos y $-1$ si $n$ es el producto de un número par de primos, lo cual puede escribirse jústamente usando $\mu$ como $a_n=-\mu(n)$.

Por otro lado, como es bien sabido, la mayoría de números son compuestos, de hecho el Teorema de los Números Primos establece que la razón entre el número de primos menores que $x$ y $x$ tiende a 0, por lo que la probabilidad de ser compuesto (razón entre "el número de compuestos y todos los números") es 1, así que $P=1$. Con esto tenemos que

$\sum_{n=2}^\infty -\frac{\mu(n)}{n}=1$

y como $\mu(1)=1$, podemos decir que

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}=0$

Es facinante como es posible interpretar la función $\mu$ simplemente como el principio de inclusión-exclusión para los números primos, y por medio de este mismo argumento, se puede mostrar facilmente que

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)}$

donde $\zeta(s)$ es la función Zeta de Riemann. Justamente, para $s=1$, la función Zeta posee un polo de orcden 1 y por lo tanto $\frac{1}{\zeta(1)}=0$.

De esta manera, la función $\mu$ surge de una forma un tanto más natural y, al menos para mí, deja de ser un ente muy raro y misterioso.