What is math? Baby don't hurt me, don't hurt me no more

I don't like math. At least the one that is taught in schools. Everyone knows that math is horrible, difficult and is some sort of torture for most people. I don't like math, or at least what most people believe is math. Usually when people hear the word math they think of $x$'s, $y$'s, graphs, numbers (lots of numbers) and equations (those things with the $=$ sign). But that is not math, that is the language that math uses.

It is funny, because some 400 years ago all those things didn't even existed, even though math has been there since the beginning of human kind. At that time, all mathematics was written in a more literary way.

What people usually think about math is basic algebraic manipulations and arithmetic. I think that one of the main problems lie in the fact that teachers always say that math is useful, that people should learn precalculus and calculus to use it in applications, but they focus (at least the big majority) only in teaching the language in which math is written, but not math itself.

When one thinks about poetry for example, one doesn't think about verbs, nouns, adjectives, pronouns, etc., we think about the beauty of the ideas expressed and the structure of it, not the actual words. Thinking that math having weird equations on a board is like thinking that poetry is just mere grammar studies.

Definitely, one has to learn first the grammar rules before studying or writing poetry. Likewise we must learn the language in which math is written before studying real math, or doing our own. This initial stage can be a bit boring and tedious, as it should be mainly repetitive and mechanical, but has no difference from an elementary english or a grammar course. The fact is that many people think that math is this boring first stage, which is rather sad.

There is an important difference between a description and the language used to make that description. One can think of math as describing things, their properties and interactions, but we must have a language to express these things. That language can be english, spanish, japanese, algebraic notation, geometric shapes, music scores, emoticons, etc. It is not the same to study a language than study something in a language. Math is about studying or analyzing things, and it uses a language. Just because you know french, that doesn't mean that you can understand an article about quantum gravity that happens to be written in french. Likewise, knowing calculus is not the same as knowing math. Just because a parrot can say words doesn't mean it understands what it is saying. Telling someone that learning math is learning how to take derivatives, integrals, how to factor and multiply big numbers, is like making a parrot believe it knows how to speak.

Valor esperado y los números de Catalán

Hace un par de días vine a un curso de verano en matemáticas para estudiantes de secundaria. La idea es desarrollar las habilidades de los estudiantes, así como exponerlos a matemáticas no tradicionales (y más interesantes).

Uno de los cursos de esta semana es el de probabilidades. En este curso surgió un problema muy interesante:

Se lanza un dado honrado hasta que el número de 6s obtenidos es al menos la mitad de las veces. Calcular el valor esperado del número de lanzamientos.

A simple vista la respuesta pareciera ser infinito, puesto que al lanzar un dado honrado tendremos que aproximadamente 1/6 de las veces tendremos el número 6, por lo tanto esperaríamos nunca terminar de lanzar el dado. Veamos que pasa si se calcula el valor esperado. El valor esperado será la suma de el número de lanzamientos requeridos para terminar de lanzar el dado multiplicado por su probabilidad de ocurrencia:

$$E=\sum_{n=1}^\infty nP_n$$

Para analizar estas probabilidades, primero veamos que pasa en los primeros casos. Si en el primer lanzamiento se obtiene un 6, el juego termina. Esto pasa con probabilidad 1/6. Para que el juego termine luego de 2 lanzamientos, el primero tuvo que haber sido distinto de 6 y el segundo tuvo que ser 6. Esto  pasa con probabilidad (5/6)(1/6).

El caso de terminar en 3 lanzamientos es un poco más interesante. Para esto es necesario que al menos 2 de los lanzamientos hayan sido 6. Sin embargo puesto que los lanzamientos son en secuencia, las posibilidades son $x,6,6$, $6,x,6$, $6,6,x$. Notemos que en todas las opciones los lanzamientos terminarían a lo más en el segundo tiro, por lo que la probabilidad de terminar en el tercer tiro es 0. Por medio de este argumento es posible ver que el juego termina al tener exactamente la mitad de 6s y que esto requiere que el número de lanzamientos sea par (excepto  para el caso $n=1$) .

Ahora debemos de calcular la probabilidad de terminar en $2k$ lanzamientos, para esto podemos replantear el problema de una manera más gráfica:

Si queremos terminar en exactamente $2k$ lanzamientos, debemos tener que .el número de 6 obtenidos debe ser menor a la mitad de lanzamientos en cada tiro, excepto en el último, en donde debe ser exactamente la mitad.

Si representamos esto en una cuadrícula en donde el eje vertical representa un 6 y el eje horizontal representa un 1,2,3,4 o 5, entonces el problema se traduce en construir un camino desde $(0,0)$ hasta $(k,k)$ de tal forma que el camino no toque a la linea $y=x$ excepto en los vértices.

Esto es muy similar a una de las representaciones combinatoricas de los numeros de Catalan. Los numeros de Catalan solo poseen la restriccion de no pasar arriba de la diagonal. La relacion entre estos dos no es muy lejana, basta notar que si $n>1$, el primer lanzamiento debe ser distinto de 6 y  el ultimo lanzamiento debe ser un 6. Asi, para $n=2k$, el numero de caminos posibles es igual al $k-1$ numero de Catalan $C_{k-1}$. Por lo tanto la probabilidad de terminar en $n=2k$ lanzamientos es 

$$P_n=\frac{C_{k-1}}{6^{2k}}$$

Por lo tanto el valor esperado es

$$E=\frac{1}{6}+\sum_{k=1}^\infty (2k)\frac{C_{k-1}}{36^k}$$

Esto puede calcuarse utilizado la funcion generatriz de los numeros de Catalan:

$$\frac{2}{1+\sqrt{1-4x}}=\sum_{n=0}^\infty C_nx^n,$$

derivando termino por termino, multipicando por $x$ y luego sumando la funcion genneratriz nuevamente se tiene que

$$\frac{1}{6}+\frac{8x^2}{(1+\sqrt{1-4x})^2\sqrt{1-4x}}+\frac{4x}{1+\sqrt{1-4x}}=\frac{1}{6}+x\sum_{k=0}^\infty 2(k+1)C_{k}x^{k}.$$

Por lo tanto, haciend $x=1/36$ obtenemos el valor esperado 

$$E=\frac{1}{6}+\frac{1}{12\sqrt{2}}\sim 0.22559.$$

On Beal's conjecture and related topics

Recently, Beal's conjecture award has raised to $1 million, and this was one of the big headlines in the math community in the past days. This is a very interesting statement in number theory inspired by, as Andy Beal himself says, on Fermat's last theorem. 

It says that if the positive integers $A,B,C,x,y,z$ satisfy

$$A^x+B^y=C^z$$

with $x,y,z >2$, then $A,B,C$ have a common prime factor.

Notice that this statement work on the basis that there is a solution for the equation, that is, it talks about a property that solutions of the equation must have. This then could be used to easily prove Fermat's last theorem by contradiction using the infinite decent method.

Analyzing these type of equations, it is not hard to find some nice properties arising from them. When I first saw the equation, I was doubtful about the statement, so I went to look for some examples. It was precisely this that led Beal to formulate the conjecture, having looked for numerical solutions with the aid of computer power for values of all the variables up to 1000. So my next inquire was to find a way to create solutions to  these equations.

My approach was to have $x,y,z$ fixed and try to cook up solutions $A,B,C$. The idea is to play around with the prime factors that appear in the game. Basically one has to balance the prime factors in the equation and make them to have the right power.

Grab any pair of positive integers $A,B$ and analyze $A^x+B^y$. The equation requires for this to be a $z$-power, that is, each prime factor appearing in $A^x+B^y$ must have a power multiple of $z$. The idea is to balance those powers by multiplying by powers of $p$.

Suppose that $p$ has a power of $\alpha x$ in $A^x$, $\beta y$ in $B^y$ and $\gamma$ in $A^x+B^y$. Hence, the idea is to multiply by $p^m$ to the expression, where $m$ is such that $\alpha x+m$ is multiple of $x$, $\beta y+m$ is multiple of $y$ and $\gamma+m$ is multiple of $z$. This is a classical problem of chinese remainder, which can be solve by finding solutions to the system of congruences

$$m\equiv 0\text{ mod lcm}(x,y)$$

$$m\equiv -\gamma\text{ mod }z$$.

In order to solve this, we must require that $\text{lcm}(x,y)$ and $z$ to be relative prime. Performing this, we can make $A'=p^{m/x}A$ and $B'=p^{m/y}B$ and then $A'^x+B'^y$ has the right powers for $p$. 

Following this idea for every prime factor $p$ appearing in $A^x+B^y$ leads to a solution of the equation 

$$A^x+B^y=C^z$$.

Therefore, every pair $(A,B)$ leads to a solution of the previous equation. Here then is necessary to make the assumption that $(xy,z)=1$, which makes Fermat's last theorem to fail for this methodology ($x=y=z$).

In general, something similar can be made for $(xz,y)=1$ or $(yz,x)=1$ just by rewriting the equation as 

$$C^z-A^x=B^y$$ or $$C^z-B^y=A^x$$

the only constrain is that $(C,A)$ (respectively $(C,B)$) should be such that the left hand side must be possitive.

This is totally unrelated with Beal's conjecture, as it provides a way to construct solutions, but the method agrees with its statement.   

Solución paramétrica de una elipse

Hace unos días estaba analizando una ecuación diferencial parcial de segundo grado y me topé con la necesidad de encontrar todas las soluciones de una ecuación homogénea de segundo orden

$$ax^2+bxy+cy^2=f.$$

Esta no es más que una elipse rotada, así que las soluciones $(x,y)$ pueden encontrarse de forma paramétrica por medio de las soluciones de una elipse. Un problema bastante rutinario y nada fuera de lo común. Sin embargo, estuve buscando en internet alguna solución paramétrica de una elipse, encontrando únicamente la solución para una elipse normal, no rotada. 

Desde que estaba en los primeros cursos de cálculo, recuerdo el truco de rotar los ejes para eliminar el termino cruzado $xy$ en la ecuación de una cónica, y con esto simplificar la expresión, así que me decidí a escribir la ecuación paramétrica de una elipse general

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.$$

Esta es la ecuación general de una elipse, esto es, una elipse trasladada con centro $(h,k)$ y con ejes rotados por un ángulo $\theta$. 

Sustituyendo $x\mapsto x-h$ e $y\mapsto y-k$, se tiene que la ecuación se puede expresar como

$$a(x-h)^2+b(x-h)(y-k)+c(y-k)^2$$
$$+(f-ah^2-bhk-ck^2)=0,$$

donde 

$$h=\frac{be-2cd}{4ac-b^2}$$ y $$k=\frac{bd-2ae}{4ac-b^2}.$$

Ahora, resta encontrar las soluciones de una ecuación del tipo

$$\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2+\delta=0.$$

Esto se logra por medio de la rotación de ejes

$$x=u \cos(\theta)-v \sin(\theta)$$ e $$y=u\sin(\theta)+v\cos(\theta)$$.

Sustituyendo esto se obtiene que para anular el factor $uv$ es necesario hacer 

$$\theta=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{\beta}{\alpha-\gamma}\right),$$

Luego de esto, se tiene una ecuación del tipo 

$$Au^2+Bv^2=1$$

en donde se puede suponer que $Au^2=\cos(t)$ y $Bv^2=\sin(t)$, con lo que se puede obtener entonces las soluciones paramétricas

$$u=-\frac{1}{\delta}\sqrt{\frac{2\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|+\beta^2}}$$

$$v=-\frac{1}{\delta}\sqrt{\frac{2\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|-\beta^2}}$$

Por lo que regresando a $(x,y)$ da

$$x=-\frac{\cos(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|+\beta^2}}$$

$$+\frac{\sin(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|-\beta^2}}$$

$$y=-\frac{\cos(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|+\beta^2}}$$

$$-\frac{\sin(t)}{\delta}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}+|\gamma-\alpha|}{(\gamma+\alpha)\sqrt{(\gamma-\alpha)^2+\beta^2}-(\alpha-\gamma)|\gamma-\alpha|-\beta^2}}$$.

Para finalizar, solo basta incorporar $h,k$ y hacer la correspondencia de $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ en las ecuaciones, 

$$\alpha=a$$

$$\beta=b$$

$$\gamma=c$$

$$\delta=f-ah^2-bhk-ck^2$$

dando

$$x=-\frac{\cos(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}+|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}+(a-c)|c-a|+b^2}}$$

$$+\frac{\sin(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}-|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}-(a-c)|c-a|-b^2}}+h$$

$$y=-\frac{\cos(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}-|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}+(a-c)|c-a|+b^2}}$$

$$-\frac{\sin(t)}{f-ah^2-bhk-ck^2}$$
$$\times\sqrt{\frac{\sqrt{(c-a)^2+b^2}+|c-a|}{(c+a)\sqrt{(c-a)^2+b^2}-(a-c)|c-a|-b^2}}+k$$.

Does gravity make time flow?

I'm not a physicist, but I do like physics. There are a lot of nice ideas in physics that can be beautifully modeled by awesome mathematics. This I think is the reason why most physics people think about math as a tool, rather I have the math person  point of view that math works for every world, specially for this one.

I don't want to start the third world war in between physicists and mathematicians (which is more like a cold war at the moment), but I want to express some ideas based on my mathematical imagination, that is, I have no physical intuition or base to state these.

It all started almost a year ago when, for some weird reason, I started spending a lot of time thinking about: time. It had always fascinated me this concept for which we don't really have a definition, we just take it as a parameter. We know that it runs, that it goes forward and that we cannot rewind. It was with Einstein that we took a step forward into understanding this mysterious being. We now know that time runs at different speeds depending on your reference point, but still we have that time can only run in one direction, that is, we cannot reverse it. Again, I am no physicist, and my little knowledge is that you can explain this also from the point of view of thermodynamics, but I was trying to get my own explanation, my own SciFi reason of this.

Basically my question was What makes the time to run?, Why there is no similar effect on the spacial coordinates? My approach to these was in a more geometrical way. Supposing that we start with a 4 dimensional real space
$$M=\{(a,b,c,d)|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$$,
we have that one of the variables serves as a parameter for the other 3. This is the mathematical way of saying that one of them is time. In other words, what is happening to get a time variable is that we are parametrizing a curve in $M$.

When talking about curves or paths jointing two points in space, it is almost immediate to think about geodesics. These arise when there is some sort of minimization process, and nature really likes this kind of property.

Following this train of thought, the responsible for creating geodesics in $M$ has to be a metric $g$ on $M$. Then geodesics are the result of minimizing the arc length of paths joining two points in space taking into account the action of the metric $g$.

Since the metric $g$ is the mathematical connection to incorporate gravity in $M$, ultimately time is a consequence of gravity.

That is, gravity provides a way to minimize paths in $M$, but still we need two points in space to make sense of this model.

Limites hasta el limite

Recuerdo que de estudiante, y aun ahora dando clases, el tema de limites me parecia muy aburrido y sin sentido. Siempre se presenta el estudio de limites como algo necesario para poder definir los dos pilares del calculo, la integral y la derivada.

Sin embargo los limites constituyen un objeto muy interesante en si, mas alla de servir para definir continuidad en una funcion, se pueden interpretar como una manera de darle sentido a lo que no tiene.

Para los estudiantes de precalculo y calculo, el concepto de limite es siempre oscuro y muchas veces nos limitamos a calcularlo y no darle ninguna interpretacion conceptual.

La idea tradicional de un limite consiste en observar una tendencia, lo cual conlleva a construir el concepto de continuidad y demas maravilals del calculo, pero visto puramente desde la perspectiva de la funcion, un limite es una manera de poder expandir una funcion.

Creo que el trabajar con regularizaciones me hace ver todo a traves de dicho cristal, y esto sucede con la nocion de limite. Por ejemplo, si hablamos de la funcion

$f(x)=\frac{\sin x}{x}\,,$

sabemos que 0 no pertenece al dominio de la funcion, sin embargo el limite bilateral de $f(x)$ en 0 existe, lo cual hace que tenga una discontinuidad removible o evitable. Por lo tanto, al realizar

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}$

lo que estamos haciendo es ampliar la definicion de $f(x)$ a un conjunto mas grande, es decir, darle sentido a algo que no lo tenia antes ($f(0)$).

De esta manera es posible realizar una continuacion de la funcion por medio de definir

$g(x)=\lim_{h\to x}f(h)$,

si la funcion es continua en $x$, $g(x)=f(x)$, si no se tiene un valor ( o dos segun si los limites laterales son distintos) que le da sentido a algo que no existia previamente.

Supongo que esta nocion de limite esta mas enfocada con la naturaleza del objeto "limite", es decir, visto mas desde un punto de la teoria de conjuntos, al igual que la idea de funcion como conjunto de parejas ordenadas.

De esta manera, el calculo de limites es una forma de poder incluir entes extraños a la hora de hablar de funciones, como es el caso de $\infty$, $-\infty$, de tener dos valores para la misma $x$, etc.

Al fin y al cabo, el calculo se trata de ir contra la logica, definiendo cantidades infinitesimales, dibujando rectas con tan solo un punto y abrazando el concepto de infinito.