Exponential Series

This semester we started a course in Time Scales, which is an interesting generalization of the classic differential analysis. The idea of time scales is to provide a connection between the study of differential equations made on $\mathbb{R}$ and the study of difference equations on $\mathbb{Z}$.

This connection is made by taking a closed subset of $\mathbb{R}$ and start defining on it notions of a right and left derivatives, which are called the $\Delta$ and $\nabla$ derivatives.

On last week's class, one of my friends was talking about this definitions and also how would one define an integral using this time scales approach. As an example, he state the following integral

$\int_0^\infty e^{-\tau^2}\Delta \tau$

On the time scale $\mathbb{T}=\overline{\{q^\mathbb{Z}\}}$ for some $q>1$. This is just the closure of the set of all integer powers of $q$.

After dealing with the boring algebra involved, the previous integral has a value of

$(q-1)\sum_{n=1}^\infty (q^n+q^{-n})e^{-n^2}$

Finding the actual value of this expression boils down to calculate the value of

$\sum_{n=1}^\infty e^{an-n^2}$

This can be done by using the Jacobi Theta Function, which is given by

$\vartheta(z,w)=\sum_{n=-\infty}^\infty \exp(2\pi i nz+\pi i n^2 w)$

for $z\in\mathbb{C}$ and $w\in\mathbb{H}$. Thus letting $z=\frac{-ai}{2\pi}$ and $w=\frac{i}{\pi}$ gives the value that we are looking for. In this case, we have that

$\int_0^\infty e^{-\tau^2}\Delta \tau$
$=\frac{(q-1)}{2}(\vartheta(-ai/2\pi,i/\pi) +\vartheta(ai/2\pi,i/\pi) -2)$

This is a really simple problem at first sight, but it caught my attention the fact that it all relies on determining the value for an expression that looks like

$\sum_{n=1}^\infty e^{p(n)}$

where $p(n)$ was a quadratic polynomial with a negative leading coefficient. A natural question came then to my mind, what would happen if we would have any polynomial instead?

My first idea was to study the case when $p(n)=-n^m$ for a fixed power $m$. The cases when $m=1,2$ are contained in the previous approach using the Jacobi Theta Function. I first try to calculate the series for some values of $m$, and I found that the above expression, as a function of $m$, converged really fast as $m$ was getting bigger.

Actually, it is not difficult to find out that this limit exists and has the value of

$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^m}=\frac{1}{e}$

Following the same line, one can show that for $p(n)=-an^m$, with $a$ a constant, we have that

$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^\infty e^{-an^m}=\frac{1}{e^a}$

Thus, one could say that for a polynomial $p(n)=-an^m+O(n^{m-1})$ a good approximation its given by

$\sum_{n=1}^\infty e^{p(n)} \approx\frac{1}{e^a}$

Looking for a different approach towards a more precise answer, one can define a function given by $f(t)=\sum_{n=1}^\infty e^{p(n) t}$ and this function can be viewed as the heat kernel of a differential operator $P$ whose spectrum is given by $\sigma(P)=\{\lambda_n\}$, where $\lambda_n=p(n)$.

This could suggest the difficulty of such a closed form for $f(1)$, for instance, in the case of $p(n)=-n^m$, this would be related to the existence of an operator $P$ with eigenvalues $\{1/n\}$, which is one of the consequences of the Riemann Hypothesis.

Hausdorffización de un Espacio?

El año pasado después de una plática sobre topología en la universidad, como cosa rara en un ambiente topologico, surgió una pequeña plática sobre espacios de Hausdorff. De dicha discusión, sirgió en mi la inquietud si de alguna forma pudiera medirse cuán Hausdorff es un espacio.

Un espacio topológico se dice Hausdorff si es posible separar puntos, es decir, si dados dos puntos distintos, se pueden hallar vecindades de cada punto disjuntas entre sí. Una definición más formal sería que dados dos puntos distintos $x,y$ de un espacio topológico $X$, existen abiertos $U,V\in \mathcal{T}$ tales que $x\in U$, $y\in V$ y $U\cap V=\emptyset$.

De cierto modo, dos puntos que fallan en cumplir esta propiedad están unidos, en el sentido que cualquier vecindad de uno intersecta a todas las vecindades del otro.

Siguiendo esta conceptualización, si tenemos que la propiedad de separación falla en dos puntos $x,y$, hablando de una manera informal podríamos decir que los puntos no pueden tener vecindades arbitrariamente pequeñas. Con esto en mente, se me ocurrió definir una función $\mathcal{W}:X\to \mathcal{P}(X)$ por $x\mapsto \bigcap_{V\in\mathcal{T}} U$.

La idea es hallar la menor vecindad alrededor de cada punto. Sin embargo, nótese que $\mathcal{W}_x$ no será necesariamente un conjunto abierto, de hecho, en el caso que se trate de un espacio Hausdorff, no es muy difícil de probar que dicha función $\mathcal{W}$ es simplemente $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y por lo tanto, si el espacio es $T_1$, se tiene que $\mathcal{W}_x$ es cerrado.

Posiblemente, esta función pueda ayudar a medir en cierto modo que tan Hausdorff es un espacio. Si un espacio es Hausdorff, se tiene que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y sería natural preguntar si esta condición es suficiente para ser Hausdorff, es decir, un espacio $X$ es Hausdorff si y solo sí $\forall x\in X$, $\mathcal{W}_x=\{x\}$.

Supongamos que $X$ es un espacio tal que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ para todo $x\in X$ y $X$ no es Hausdorff. Sean $x,y$ dos puntos distintos de $X$ tales que cualquier vecindad de $x$ intersecta a todas las vecindades de $y$.

Sea $\mathcal{B}_x$ una base local en $x$ y $\mathcal{B}_y$ una base local en $y$. Puesto que $U\cap V=\emptyset$ para todo $U\in\mathcal{B}_x$ y todo $V\in\mathcal{B}_y$, sea $l_{UV}\in U\cap V$. Utilizando el axioma de elección, defínase $L$ el conjunto de dichos $l_{UV}$. Por definición, se tiene que $x$ es un punto límite de $L$.

Supongamos que $X$ es segundo contable, de esta manera, es posible encontrar una sucesión $\{l_n\}$ en $L$ que converja a $x$. Por definición, para todo $n$, existe una vecindad $V$ de $y$ tal que $l_n\in V$, por lo tanto $l_n\in\overline{V}$ y entonces $x\in \cap_{y\in V\in \mathcal{T}} \overline{V}$ $=\overline{\cap_{y\in V\in \mathcal{T}} V}$ $=\overline{\{y\}}$. Si se supone además que $X$ es $T_1$, entonces $\overline{\{y\}}=\{y\}$, por lo que $x\in \{y\}$ y entonces $x=y$.

Al parecer, esta equivalencia es válida en el ámbito de $X$ ser $T_1$ y segundo contable, no se si puede ser generalizada esta noción, pero me pareció una forma interesante de traducir el concepto de Hausdorff en términos de la menor vecindad que contiene a un punto.

Line orbits on a circle

After a little break time, I decided that a good way to start the year is by posting something that I was thinking on few days ago.

At the beginning of the Winter break, one of my friends back home post me a question about determining the foci a hyperbola just with compass and straightedge constructions. Thinking a little about it, I was trying to find some basic property of the foci of a hyperbola, and it came to my mind that they must have the same property no matter what kind of conic we are looking at, since all conics are equivalent under the $PSL(2,\mathbb{R})$ group.

So I tried to find some kind of property that the foci of all conics share, and one of them can be regarded as some kind of reflection property.

If you have a set of lines that passes through one of the foci of a conic and you take the reflection of these lines on the conic, the resulting set of lines passes through the other focus.

In the case of a circle, the two foci coincide in the center of the circle, so the condition holds, but this made me think of analyzing the orbit of a line in a circle. By this, what I mean is the following: start with a line that intersects the circle, then at the intersection points, reflect the line through the circle and keep with this process. Call the resulting intersection points on the circle, the orbit of the line. Now, a very natural question would be for which kind of lines does this orbit is finite? has a limit point? is dense in the circumference?

At the beginning, the answer seems really straightforward, one could say that the lines that lead to finite orbits are the ones that belong to sides of a regular polygon, which means that the lines leading to finite orbits are the ones whose distance to the center of the circle equals the apothem of some regular polygon inscribed in the circle.

However, this condition is quite weak, since there are more such lines. To look at these, we can take a different approach. One easy way is to look this is by taking the arc length instead. If we take the length of the circumference to be 1, then if the arc lengths of the pieces into which is divided the circle by the line are rationals, we have that the orbit is finite. Moreover, if the arc length is $q/p$, the orbit has length $p$.

This is equivalent to studying the circle regarded as $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, and here the orbit for a value $x$ is the set $\{[nx]: n\in\mathbb{Z}\}$ from where we have that it is finite iff $x\in\mathbb{Q}$ and it is dense in the circle otherwise.

Another interesting question would be to find sufficient conditions for finite orbits on a general conic, and this might be studied using the group structure of the circle $S^1$ and the projective properties of $PSL(2,\mathbb{R})$.

Curvas Elipticas y Espacios Proyectivos

Hace poco tiempo con mi amigo Javier Ronquillo comenzamos a estudiar curvas elípticas con un libro muy interesante que se enfoca en describir los puntos racionales que una curva elíptica puede tener. Una curva elíptica se puede definir en general sobre cualquier anillo $R$ como el conjunto de soluciones en $R$ de la ecuación

$p(x,y)=Ax^3+By^2+Cxy+Dx^2+Ex+Fy+G=0$

donde las constantes $A,B,C,D,E,F,G\in R$. Propiedades interesantes surgen cuando se dota de una operación binaria a este conjunto. Resulta que una curva elíptica $C(p,R)$ puede convertirse en un grupo abeliano de acuerdo con las siguientes reglas:

• Se fija un punto $O\in C(p,R)$
• Si $P,Q\in C(p,R)$, se denota por $P*Q$ el tercer punto de intersección de la recta que pasa por $P,Q$ con la curva elíptica $C(p,R)$
• Se define $P+Q=O*(P*Q)$

La definición arriba descrita hace a $C(p,R)$ un grupo aditivo, y esto es gracias a la propiedad que si una recta pasa por dos puntos de $C(p,R)$, pasa por un tercero necesariamente, contando multiplicidades, así la recta tangente a un punto $P$ de $C(p,R)$ necesariamente pasa por otro punto de la curva, y solamente uno, por lo que nuestra definición de suma está bien definida.

Gracias a esta estructura de grupo que se le da a $C(,p,R)$, las curvas elípticas han cobrado gran auge en campos como teoría de codigos y criptografía.

Hace un mes aproximadamente, asistí a una charla dada por uno de mis profesores de algebra, Dr. David Arnold, y estaba hablando precisamente sobre curvas elípticas y su relación con números congruentes. En su charla definió de una manera distinta la suma en $C(p,R)$ y a primera vista no me pareció una forma equivalente a la que había aprendido unas semanas atrás, sin embargo, luego de pensar un poco me resultó bastante claro y conveniente esta extraña definición.

Definió una curva eliptica sobre $\mathbb{R}$ como las soluciones a

$y^2=x^3+ax^2+bx+c$

y la suma de dos puntos $P,Q$ simplemente como la reflexión sobre el eje $X$ de $P*Q$.

La ventaja de esta definición es que el grupo no depende de la elección de $O$, sino que en este caso, el neutro aditivo es el punto en el infinito dado por $(\infty,\infty)$.

Despues de investigar un poco, me di cuenta que la definición usual de curvas elípticas y adición en ellas es esta que él habia dado, y que la que había aprendido yo era la rara, lo cual me hizo interesarme más en el asunto.

Una forma un poco simple de pensar en esta aparente ambigüedad de conceptos, es ver al segundo punto de vista como un caso particular del primero. Si tomamos $C(p,R)$ con un punto fijo $O$, podemos realizar una transformación puntual al infinito y mandar el punto $O$ al punto en el infinito y así obtener el segundo punto de vista.

Una transformación puntual es una transformación del plano en sí mismo que transforma lineas en lineas, así que, dado que nuestra definición primera de adición está en términos de rectas e intersecciones, la misma definición seguirá siendo válida luego de aplicar una transformación de este tipo.

En general, dichas transformaciones puntuales mapean un punto $P=(x,y)$ a un punto $\tilde{P}=(\tilde{x},\tilde{y})$ en donde las nuevas coordenadas están dadas por

$\tilde{x}= \frac{ax+by+c}{gx+hy+i}$

$\tilde{y}= \frac{dx+ey+f}{gx+hy+i}$

en donde se manda la recta $gx+hy+i$ al infinito.

Para ver las bondades de esta transformación, resulta adecuado reescribirla como

$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}$

y las nuevas coordenadas del punto $\tilde{P}$ son $\tilde{x}=\frac{\bar{x}}{\bar{z}}$ y $\tilde{y}=\frac{\bar{y}}{\bar{z}}$.

Esta ultima descripción puede verse como una transformación lineal de $R^2$ en $R^3$, o bien, puede generalizarse como una transformación entre espacios proyectivos.

Si se tiene un punto $(x:y:z)\in\mathbb{P}^2(R)$, donde $\mathbb{P}^2(R)$ es el espacio 2-proyectivo de $R$, tenemos que dicha transformación se puede escribir como

$T\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\bar{x}\\\bar{y}\\\bar{z}\end{pmatrix}$

Como consecuencia de trabajar en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^2(R)$, debemos cambiar nuestro polinomio $p(x,y)$ que genera la curva elíptica por

$p(x:y:z)=Ax^3+By^2z+Cxyz+Dx^2z+Exz^2+Fyz^2+Gz^3$

Ahora nuestro objetivo es estudiar que pasa con dicha curva elíptica al aplicarle una transformación puntual como la anteriormente descrita. Para esto, podemos ver que tipo de condiciones se pueden imponer sobre la matriz $T$. Luego de analizar un poco la situación, se puede concluir que sin pérdida de generalidad $det(T)=1$, con lo que se tiene que el conjunto de todas las transformaciones puntuales de $\mathbb{P}^2(R)$ en sí mismo es el grupo lineal proyectivo $\text{PSL}(R,3)$ de matrices sobre $R$ con determinante igual a la identidad.

El único problema es que luego de aplicar una transformación $T\in\text{PSL}(R,3)$, puede darse el caso que una curva elíptica $C(p,R)$ no sea transformada en otra curva elíptica, sino que en algo más, es decir, el conjunto de curvas elípticas en $\mathbb{P}^2(R)$ no es invariante respecto de $\text{PSL}(R,3)$. Un ejemplo de conjuntos de curvas invariantes respecto de $\text{PSL}(R,3)$ son las cónicas, puesto que al aplicar una transformación puntual a una cónica el resultado es otra cónica.

Con esta idea en mente, es posible ampliar el concepto de curva elíptica de tal manera que sea invariante respecto de transformaciones puntuales.

Si definimos una curva elíptica en $\mathbb{P}^2(R)$ como el conjunto de ceros de un polinomio de la forma

$p(x:y:z)=\sum_{r+s+t=3}c_{r,s,t}x^ry^sz^t$

con $r,s,t\geq 0$ y $c_{r,s,t}\in R$, tenemos ahora que el conjunto de curvas elípticas en $\mathbb{P}^2(R)$ es invariante respecto de $\text{PSL}(R,3)$, y con esta descripción es posible estudiar el comportamiento de curvas elípticas bajo transformaciones puntuales y ver que los cambios de coordenadas son funciones racionales de las coordenadas originales, y por ejemplo, $C(p,\mathbb{Q})$ es mapeado en otra curva elíptica luego de aplicar una transformación puntual. Más en general, para un $F$ es un campo, $C(p,F)$ es mapeado en otra curva elíptica sobre $F$ de manera isomorfa, por lo que propiedades como ordenes de elementos, generadores, número de subgrupos y demás permanecen invariantes luego de aplicar una transformación puntal.

On general derivatives

Long time ago I remember one of my former professors back home talking about a way of generalize the order of derivatives to real and then complex numbers. At the moment I was maybe in introduction to analysis or so, and I only did understand the meaning of the $n$th derivative, or at least, I knew how to calculate them.

Then, I came to graduate school and people where talking about fractional calculus, which in some sense is a generalization for the usual derivatives, providing a way of calculating the $\frac{p}{q}$ derivative of a function.

The purpose is to calculate $\frac{d^\alpha}{dt^\alpha}f(x)$ for $\alpha\in\mathbb{R}^+,\mathbb{R},\mathbb{C}$.

I was thinking of some sort of an easy and non-elaborated way of generalizing this idea, and it came to my mind the spectral theorem. If we define an operator $T=\frac{d}{dx}$ to be the derivative operator for a space of functions $H$ to itself, one would like to calculate $T^\alpha$ of a function, and a nice way of solving this would be to use functional calculus by means of the spectral theorem, which would say that

$T^\alpha(f)(x)=\int_{\sigma(T)}\lambda^\alpha dE(\lambda)(f)(x)$

where $\sigma(T)$ is the spectrum of the operator $T$ and $E(\lambda)$ is a partition of unity. This would provide a quick and dirty way of accomplish our mission, but we have one problem: $T$ is not a bounded operator, and we cannot quite use this same result.

Anyhow, trying to go further with this first approach, one has some classical results when applying this idea.

It is well known that the eigenfunctions of $T$ are exponentials given by the solutions of

$Tf-\lambda f=0$

subject to some boundary/initial conditions. Suppose that we work in the space $H=L^2$ with the usual inner product and the condition for the eigenfunctions to be $f(0)=1$. Then this result is the same as taking the Fourier transform of the function and passing the derivative along the integration sign

$T^\alpha (f)(x)=\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(t) (2\pi i t)^\alpha e^{2\pi i xt}dt$

for $\alpha=0$ we have $T^0(f)(x)=f(x)$. When $\alpha=n\in\mathbb{N}$ we have the old result from Fourier analysis and in fact, we have that $T^n(f)(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)$.

Also, for negative integers $\alpha=-n\in\mathbb{Z}^-$, this realization for the generalized derivative agrees with the result od Fourier transforms, having that $T^{-n}(f)(x)=F^{(n)}(x)$, where $F^{(n)}(x)$ is the $n$th antiderivative of $f(x)$.

But this method is not so true, since as we pointed out before, $T$ is not bounded in $L^2$, so the idea is to use some kind of spectral theorem for symmetric unbounded operators. This can be done by finding a self adjoint extension of $T$ and apply the spectral theorem to it or equivalently, to use the symmetric unbounded version of this result to $T$.

By this means, one can calculate the derivative of any complex order $\alpha$ of (in general) any $L^2$ function.

Posible vs Probable

Hace unos días discutí con mi amigo Andrés sobre el post de como calcular la probabilidad de obtener un triángulo al partir un palillo en 3 trocitos. Él me preguntaba que pasaría si decidiéramos imponer la restricción que el triángulo obtenido fuera equilátero o isóceles.

Obviamente, dichos casos son posibles, sin embargo al calcular la probabilidad de ocurrencia, esta es cero.

Por ejemplo, en el caso de un triángulo equilátero, existe solamente una manera de obtener dicha configuración, esto es, cuando los 3 trocitos miden lo mismo. Sin embargo, el número total de posibilidades es infinita, por lo que podríamos decir que la probabilidad de obtener un triángulo equilátero es

$\frac{1}{\infty}=0$

Ahora bien, al calcular el número de triángulos isóceles que pueden ser obtenidos, este es infinito, sin embargo la probabilidad asociada sigue siendo cero. Este fenómeno puede ser explicado si utilizamos una interpretación geométrica de la probabilidad.

Así como vimos anteriormente la probabilidad se obtiene al dividir el área correspondiente a la región que representa los casos deseados sobre el área de los casos totales. En el caso de obtener un triángulo isóceles, el conjunto de casos favorables está dado por las tres rectas

$x=y \quad \cup\quad y=1-2x\quad \cup \quad 2y=1-x$

Puesto que este conjunto es unidimensional, su área es 0, y por lo tanto la probabilidad asociada a los triángulos isóceles es

$\frac{\text{area de las rectas}}{\text{area roja}}=\frac{0}{1/2}=0$

Esto quiere decir que dichos casos son posibles sin embargo no son probables. Pero ¿qué significa que algo sea posible pero no probable?

Matemáticamente, que algo sea posible significa que el conjunto de sucesos deseados en el espacio muestral sea no vacio. Por otra parte, que algo sea probable significa que la probabilidad asociada sea no nula. Resulta un poco dificil de convencerse al principio que esto pueda ocurrir, sin embargo al ver la probabilidad como la medida de un conjunto no suena tan artificial este concepto.

Si se tiene un conjunto $M$ una medida es una función que asigna a una familia de subconjuntos de $M$ un número real no negativo llamado medida. Por ejemplo, en la recta real, la medida mas usual es la de Lebesgue, la cual asigna a cada intervalo $[a,b]$ la medida $b-a$.

Este dilema se reduce a obtener subconjuntos no vacíos en $M$ cuya medida sea 0. El el caso de los reales, conjuntos discretos o conjuntos de cantor son buenos ejemplos de casos posibles mas no probables.

Luego de pensar un poco, no es difícil convencerse que si el espacio muestreal es un subconjunto con dimensión euclideana igual a $n$, cualquier conjunto no vacío con dimensión menor que $n$ será posible pero no probable, como el caso anterior, en el que el espacio muestreal tiene dimensión 2 (triángulo rojo) y el conjunto estudiado tiene dimensión menor, dimensión 1 para el caso de triángulos isóceles y dimensión 0 para el caso del equilátero.

Así, la unica manera de obtener probabilidad no nula es al comparar conjuntos de la misma dimensión, esto en el caso de espacios euclideanos, como fue el resultado en el caso anterior en donde comparamos la medida (área) de ambos conjuntos (triágulo rojo y triángulo azul)

Por lo tanto se puede tener algo posible pero no probable.

Elementary symmetric functions of the first natural numbers

About a month ago, my good friends Esteban and José Carlos were working in a really interesting problem in number theory involving harmonic series of sequences of something that they called the Esteban primes for $p_0$.

They were (or are, I hope) trying to find out if a particular series involving this sequences of primes, converges or not. They told me about the problem, and as always, I got really interested by this strange problem relating primes and analysis.

After working out a little bit the series, one can show that it is equivalent to prove that some infinite product converges to a nonzero value. Working with these expressions, I ended up looking at polynomials of the form

$p(x)=\prod_{k=1}^n (p_k-x)$

where the $p_k$ are primes. So, at first, I tried to not work with primes directly, but with the natural numbers $1,2,3,\dots,n$ so the polynomial will be

$p(x)=\prod_{k=1}^n (k-x)$

Expanding out this polynomial gives, by Cardano equations,

$p(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k s_{n-k} x^{k}$

were the $s_k$ are the elementary functions for $1,2,3\dots,n$, that are given by the sum of all possible $k$ products of these numbers, so for instance, $s_n=n!$, $s_1=1+2+\dots+n$ and $s_0=1$.

Therefore, evaluating $p(1)$ we have that $p(1)=\sum_{k=0}^n (-1)^k s_{n-k}=0 $ and hence, the sum of the even elementary functions is equal to the sum of the odd ones.

For example, $n=3$ gives

$s_0=1$
$s_1=1+2+3=6$
$s_2=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11$
$s_3=1\cdot 2\cdot 3=6$

and the result is

$s_0+s_2=s_1+s_3=12$

This reminds me of the property of the Binomial coefficients and must be somehow related, because these count the number of subsets with cardinality $k$, that is, for each subset of size $k$, we correspond to it a 1, then we add this results and that is $\binom{n}{k}$, while for the symmetric functions, for each subset of size $k$, we correspond to it the product of its elements, and then add over all subsets, and that gives $s_k$.

In other words, let $S=\{1,2,3,\dots,n\}$ and let $f$ be a function defined on the subsets of $S$.

If $f(A)=1$, for all $A\subset S$, we have that

$\binom{n}{k}=\sum_{A\subset S, |A|=k}f(A)$

on the other hand, if we define $f(A)=\prod_{k\in A} k$, then

$s_k=\sum_{A\subset S, |A|=k}f(A)$

so both forms have the same structure. I don't know what is the underlying property of such $f$ functions, so that the sum of the evens equals the sum of the odd ones, but I find it really interesting.