The game of life

A couple of weeks ago, I was reading some lecture notes on game theory and I came across a really neat game.

After discussing the very basics of game theory and decision making theory, the author of the lectures gives an exercise which I found really interesting and enjoyable, at the point that I went ahead and gave it as a quiz to my business calculus class.

To my surprise, most of my class got the right answer, which was truly a grateful feeling. The game is really simple so anybody can understand it, but in my opinion, it represents many aspects of real life.

It is as follows:

Every student is to write down a real $x_i$ number in between 0 and 10 inclusively. After doing so, one computes the mean $\bar{x}$ of all of the students' bets and each student's grade is given by

$10-\left|x_i-\frac{2}{3}\bar{x}\right|$

This might look a really simple task, and by no means a game at all, but it is a game of strategy and common sense.

Our desire as a students is to maximize our grade, but that depends on the average choice of the class, which might complicate a bit the analysis of a best strategy to pick our $x_i$.

It is not hard to see that a global best strategy is to pick $x_i=0$, as if everybody is a good and logical player, having all bets equal to $0$ would give each student's grade to be $10$, which is the best possible.

So, our personal best strategy should be to pick $0$, but in real life, not all players are good thinkers or really logical, so at the end of the day, our best strategy won't give us the best out come possible.

In a sense, we can think of this game as rewarding you if you somehow think average, and most of the times, the average thinking is not precisely the most wise and logical.

By the way the game was set up, we can see that it neither rewards the average thinking as much as someone that was 2/3 away from it. If you are 2/3 away from the average, you'll get full credit, and this is somehow what happens in real life. Usually not the average people get the best outcome nor the people that plays the best, but people that are in between.

This gives a really good example that in most occasions, your outcome does not depend only on your own strategy, but also in someone else's strategy, and that making the best decisions and taking the best choices does not guarantee your success.

La traza como optimizador de volumenes

La semana pasada durante el descanzo de inicio de primavera, pase una semana en guate y gracias a la invitación de un par de amigos, tuve la oportunidad de hablar un poco de las locuras que intento hacer en mi investigación.

Hablé sobre funciones zeta y pistones semitransparentes y mientras preparaba el contenido de lo que iba a decir, estuve buscando un poco sobre interpretaciones más naturales de las funciones zeta. Es bien sabida la interpretación de las funciones zeta como traza de operadores de kernel de calor, así que me surgió la curiosidad de buscar alguna interpretación geometrica de la traza de un operador.

En el caso finito dimensional, los operadores con los que trabajamos son matrices hermitianas, aunque este punto de vista es valido para cualquier tipo de matriz.

Para esto, consideremos el grupo de matrices $GL(n)$ de determinante no nulo de $n\times n$. Sea $P\in GL(n)$, hay varias formas de definir la función exponencial en $GL(n)$, una de ellas es por medio de la serie usual

$\exp(P)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}P^k$

la cual converge para toda $P$.

Una forma indirecta de definirla, es por medio de ver a la matriz $P$ en forma canonica diagonal, $P=SDS^{-1}$ donde $D$ está dada por

$D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \ddots& \\& & &\lambda_n\end{pmatrix}$

donde $\lambda_i$ son los valores propios de $P$. Entonces

$\exp(P)=S\begin{pmatrix}e^{\lambda_1} & & &\\ &e^{\lambda_2} & &\\ & & \ddots& \\& & &e^{\lambda_n}\end{pmatrix}S^{-1}$

Utilizando estas definiciones, no es dificil ver que la función exponencial cumple con

$det(\exp(P))=\exp(Tr(P))$

Por otra parte, se puede ver a $GL(n)$ como un subconjunto abierto de $\mathbb{C}^{n^2}$, y por lo tanto se puede realizar calculo en dicho grupo. La noción de $dP$ puede interpretarse como un diferencial total en $\mathbb{C}^{n^2}$. Así, es posible hablar de cálculo diferencial e integral en $GL(n)$. Esto no es más que cálculo en la variedad diferencial $GL(n)$.

Sea $P_0\in GL(n)$ una matriz cerca de $P$, y defínase

$\log(P)=\int_{P_0}^P P^{-1}dP$

donde la integral puede definirse por medio de una integral de linea, parametrizando un camino en $GL(n)$ desde $P_0$ hasta $P$.

Sea $Q=\exp(P)$, y sea $Q_t:[t_0,T]\to GL(n)$ la parametrización de una curva desde $Q_0=\exp(P_0)$ hasta $Q=\exp(P)$. Por lo tanto,

$det(Q)=\exp(Tr(\log(Q)))$,

$\log(det(Q))=Tr\left(\int_{t_0}^TQ_t^{-1}\frac{dQ_t}{dt}dt\right)$

y tenemos que

$\int_{t_0}^T det(Q_t)^{-1}\frac{d\, det(Q_t)}{dt}dt=\int_{t_0}^T Tr\left(Q_t^{-1}\frac{dQ_t}{dt}dt\right)$

por lo que las 1-formas son iguales

$det(Q)^{-1}d\, det(Q)=Tr\left(Q^{-1}dQ\right)$

en otras palabras, tenemos que

$d\, det(Q)=det(Q) Tr\left(Q^{-1}dQ\right)$

Esta identidad resulta ser muy útil y encierra mucha información geometrica sobre las matrices. Como es conocido, la interpretación del determinante de una matriz de $n\times n$ es el volumen (con signo) del paralelepípedo en $n$ dimensiones generado por los $n$ vectores columna de la matriz, así que por medio de la ecuación anterior, podemos decir que la traza de una matriz de aluna forma nos está dando la razón de cambio del volumen generado por los vectores columna.

Este resultado me pareció de gran interés, puesto que en el caso finito dimensional, relaciona funciones matriciales un tanto extrañas en naturaleza, pero comunmente utilizadas, con nociones geométricas muy fácilmente comprensibles.

Como todo en la vida, creo que esta conección a nivel de dimensión finita, tiene una contrapartida en el caso general, sin embargo aún estoy pensando como formalizar este concepto, pero creo que la idea general es tratar de establecer una relación entre la variación de la curvatura de un espacio y el determinante y traza de cierto tipo de operadores lineales. En cierto modo, esto tiene relación con flujos de Ricci y como evoluciona el volumen de una variedad através del tiempo. La conección natural parece ser, de nuevo, el teorema espectral para operadores lineales autoadjuntos y posiblemente compactos.

Orbit-Stabilizer and Covering Maps

Last week, in our quantum Mechanics class, we were going over symplectic spaces and symplectic transformations. A symplectic space is just a manifold together with a skew-symmetric non-degenerate bilinear form $J$ defined on it, and a symplectic transformation $S$ is a transformation of the manifold into itself such that it preserves $J$. One of the most common examples is when we take our manifold to be $M=\mathbb{F}^{2n}$ and the symplectic form

$J=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}$

where $F$ is a field and $I_n$ is the identity matrix. This is a symplectic manifold, and the set of symplectic transformations is know as $Sp(n,F)$. This is a well known Lie Group acting by multiplication on $M$, and one of its goodness is that this action is transitive, that is, for any non-zero $x,y\in M$, there is $S\in Sp(n,F)$ such that $y=Sx$.

This statement was actually part of our homework, to prove that the action is transitive, and I wanted to find a nicer way to prove it and not to do a proof that I had seen before in my previous courses, so I started thinking a bit of many different ways of saying that this action was transitive.

One way of seen this is by turning around the problem saying what would happen if we let $S$ to run over $Sp(n,F)$ and look at $Sx$ for $x$ fixed? Well, that is saying something like the orbit of $x$ is $M/\{0\}$ and that started to sound a bit familiar.

I was trying then to use some kind of orbit-stabilizer theorem and then use some cardinality argument and kill the problem. Although, I only did remember the finite version of this powerful theorem, which obviously, wouldn't help me at all, but in essence, that was what I was looking for. A cardinality argument would not help me in this situation, because I could have some proper subspace of the same cardinality of $M$ and this wouldn't lead me to the conclusion I was going after. Instead, a dimensionality argument was needed.

While searching for this and thinking what actually was going on behind the scenes in this group action, I saw how helpful is the notion of representation for understanding a strange object.

If $G$ is a Lie Group, we call a representation of it, a vector space $V$ in which $G$ acts on. We can think as $G$ be some sort of subgroup of $Gl(V)$, the set of linear transformations of $V$ into itself. For an element $x$ of $V$, we can talk about the $G$ orbit through $x$, $O_x$ as the set of all $g.x$ for $g\in G$. In some sense, $O_x$ is a copy of the shape of $G$. Also, from the geometrical point of view, a Lie Group is a manifold, endowed with superpowers (group structure) and hence, we can think of these orbits into $V$ as coordinate maps of $G$ given by $\phi(g)=g.x$, so really $O_x$ is how $G$ looks locally.

For example, take $O(2)$, which is the group of all $2\times 2$ matrices $O$ such that $OO^T=I$. This group is quite odd to picture, since it is a 1 dimensional manifold living in a 4 dimensional space, but by means of orbits, one can have a pretty good idea of how this group looks like. By picking a nonzero vector $x$ and looking at its orbit in $\mathbb{R}^2$, one can find that $O(2)$ looks locally like a circle.

In the general case, one can think as $G$ being a covering for $O_x$ and the degree of the cover is the number of connected components of $G$, for instance, in the above case, $O(2)$ has 2 connected components, the set of matrices with determinant equal to 1 and those of determinant equal to -1, and that fact is reflected in $O_x$ as the vector $g.x$ rotates counter clockwise for $O(2)_e$ (the identity component) and rotates clockwise in the other component, so each circle is drawn twice, and that means that $O(2)$ is a 2-fold cover for each $O_x$.

In this language, we can say that the stabilizer $G_X$ of an element $x$, is the fiber $\phi^{-1}(x)$ whose cardinality gives us the degree of the covering map.

Actually, from this point of view, $\phi$ defines a quotient map, which is very suitable for an orbit-stabilizer type argument. Since the stabilizer $G_x$ is a normal subgroup, one can think of $G$ as a principal $G_x$-bundle as $G/G_x\times G_x$ and making the identification $G/G_x\sim O_x$ and $G_x\sim \phi^{-1}(x)$ we have that $G\sim O_x\times\phi^{-1}(x)$.

Going away from counting arguments and going more into dimensionality, I found the so called Orbit-Stabilizer Theorem for Lie Groups which have the same feeling as the covering map approach. It states that

$dim(G)=dim(O_x)+dim(G_s)$

where $dim$ is regarded as manifolds.

In the $O(2)$ case, we have that $dim(G)=1$, $dim(O_x)=1$ and $dim(G_x)=0$ as any of the other cases when $G_x$ is a finite group, and hence, we have that $\phi$ is a quotient map and $dim(G)=dim(O_x)$ as expected from a covering map.

At the end, I didn't use any of these arguments for my proof, but I found quite enjoyable doing this diversion from my first thought.

Tempo Musical y Espacios de Hilbert

Hoy durante el recital de piano de mi amigo Alfredo notaba algo extraño que desde mucho tiempo me ha acosado pero nunca habia puesto tiempo en analizar detenidamente, y es la increible capacidad que tiene el cerebro humano de comprender la música.

Notaba como de forma natural, lograba identificar el tempo en el que mi amigo interpretaba el piano, es decir, llevar el tiempo de la canción con mi pié, o como decimos coloquialmente, llevaba el ritmo.

Esto puede sonar una tarea muy sencilla de identificar, puesto que una forma tentadora de hacerlo es simplemente seguir el tiempo de las notas consecutivas, sin embargo, de esta forma se tendría un tempo errático, no regular en el tiempo. Parecería entonces que es cuestión de hallar un máximo común divisor entre estas separaciones de notas, pero de nuevo, esto no resuelve el problema de manera eficaz, pues en la mayoría de casos, se obtienen valores muy altos de bpm (beats per minute). Un valor típico de tempo esta cerca de los 120 bpm o 2 notas por segundo.

Luego de estos pequeños inconvenientes, me puse a pensar un poco en otro que es un poco mas sutíl, y es que si una canción está en un tempo $\tau$, matemáticamente es correcto tambien clasificarla con un tempo de $2^n\tau$, con $n\in\mathbb{Z}$, sin embargo, solamente una de estas opciones suena acorde en el cerebro.

Una cosa interesante es el factor de una potencia de 2 en los tempos equivalentes, aunque resulte muy natural dividir en 2 o duplicar el tempo, ¿porqué 2 y no otro número? ¿digamos 3?, ¿5?, ¿$\pi$? La respuesta quizás ya la haya abordado anteriormente, solo que en otra escala de tiempo. Si una nota suena igual una octava abajo o una octava arriba, naturalmente un tempo sonará bien si se duplica o se divide por la mitad. Ahora la pregunta es ¿cómo sabe nuestro oído cual es el factor correcto?

Una idea para abordar esta incógnita es representar una canción $\phi(t)$ por un vector en el espacio $M=\otimes_{\alpha\in\mathbb{R}}\mathbb{R}v_\alpha$, donde $v_\alpha$ es un vector de la base. Es importane notar que por definición diremos que los $v_\alpha$ son linealmente independientes, sin embargo podemos interpretar a $v_\alpha$ como $e^{\alpha t}$, es decir, los $v_\alpha$ viven en diferentes espacios de factores. Con esto tenemos que

$\phi(t)=\sum_{\alpha\in\mathbb{R}} c_\alpha(t)v_\alpha$

donde la suma es una serie formal y los $c_\alpha(t)$ no son otra cosa que los coeficientes de fourier de $\phi(t)$.

Como el tempo lo determina la cantidad de notas que se ejecuten, podríamos decir que está relacionado con las variaciones en la amplitud de los sonidos (prescencia o ausencia), en otras palabras, se podría analizar el comportamiento de $d\phi(t)$ en $M$, es decir

$d\phi (t)=\sum_{\alpha\in\mathbb{R}} d c_\alpha (t) v_{\alpha}$

esta fue la razón por la que resulta conveniente tomar los $v_\alpha$ como objetos abstractos, así al tomar la derivada no tenemos factores proporcionales a la frecuencia de cada armónica.

Ahora bien, la magnitud de este vector derivada puede darnos una idea de cuanto cambia el vector inicial $\phi$, por lo tanto podemos analizar en un intervalo de tiempo

$|d\phi(t)|^2=\int_a^b\int_{-\infty}^\infty|dc_\alpha(t)|d\alpha dt$

y tratar de relacionarlo de alguna manera con algo que nos mida el tempo en este intervalo. La integral interior converge puesto que dado que los coeficientes $c_\alpha$ son coeficientes de fourier, tenemos que $\phi$ es una función de potencia finita, es decir, una función en $L^2$ y por lo tanto $d\phi$ tambien sera de potencia finita.

El motivo de analizar el comportamiento de la señal en un intervalo es que el tempo de una canción es una cantidad que puede o no ser constante a lo largo de toda la canción, es muy frecuente que dependiendo del género musical, el tempo en efecto no sea un parámetro constante a lo largo de la canción, como es el caso del progresivo. Por lo tanto, podemos considerar el tempo como una propiedad semilocal y no una propiedad global, es decir, una propiedad que esta ligada a la longitud del intervalo sobre el cual se está analizando la canción. Para esto podemos analizar la senñal en un intervalo $[a,b]$, donde $(b-a)>>1/f_b$ donde $f_b$ es frecuencia de corte de bandabase de la canción, la cual está alrededor de los $8KHz$.

Una interpretación que podemos dar al tempo como el período de un tren de pulsos tal que al muestrear la canción original, es posible aún percibir el contenido de la canción. Con esto no me refiero a recuperar la señal original como en el caso del teorema de Nyquist, sino que a lograr identificar la melodia o el contenido musical de la canción.

Si denotamos por $\Delta_{\tau}(t)$ un tren de implusos unitarios con período $\tau$, la señal muestreada está dada por

$\Delta_{\tau}(t)*|d\phi(t)|^2.$

Podemos interpretar que el tempo es el valor ${\tau}$ que resuelve un problema de optimización actuando sobre la función anterior. El cerebro es un especialista en resolver problemas de optimización, como la visión bifocal de los ojos, que maximiza la cantidad de información obtenida por ambos ojos a la vez, o el sistema retroalimentado boca-oídos-ojos que minimiza el volumen de la voz necesario para transmitir un mensaje a otra persona. Por esta razón, suena a que este es otro problema en donde una optimización es llevada acabo.

Ahora bien, debido a la propia esctructura interna del oído, resulta más natural analizar esta función en el dominio de la frecuencia, ya que nuestros oídos son receptivos a los cambios en frecuencia y no a los cambios en el tiempo. Puesto que $|\phi'(t)|^2\in L^2(\mathbb{R})$, podemos estudiar su transformada de Fourier

$T(f)=\left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i n f \tau}\right)\widehat{|d\phi(t)|^2}$

Esta función es una función en $L^2$, por lo que podemos calcular su norma, la cual daría la cantidad de energía que posee, así que como lo establecimos antes, nuestro problema a minimizar puede ser el de encontrar $\tau_0\neq 0$ tal que

$\left. \frac{d ||T||_2}{d\tau}\right|_{\tau_0}=0$

en donde $\tau_0$ es un candidato al tempo de la canción. En la prática este problema de minimización puede ser resuelto solo mediante métodos numéricos, debido a los factores $e^\tau$ que se hallan en la función $\tau$. La verdad, no soy muy numero-analítico, asi que pequé de conformista y dejé el análisis hasta aca, pero sería una buena idea el tratar de implementar el algoritmo y analizar resultados experimentales.

Exponential Series

This semester we started a course in Time Scales, which is an interesting generalization of the classic differential analysis. The idea of time scales is to provide a connection between the study of differential equations made on $\mathbb{R}$ and the study of difference equations on $\mathbb{Z}$.

This connection is made by taking a closed subset of $\mathbb{R}$ and start defining on it notions of a right and left derivatives, which are called the $\Delta$ and $\nabla$ derivatives.

On last week's class, one of my friends was talking about this definitions and also how would one define an integral using this time scales approach. As an example, he state the following integral

$\int_0^\infty e^{-\tau^2}\Delta \tau$

On the time scale $\mathbb{T}=\overline{\{q^\mathbb{Z}\}}$ for some $q>1$. This is just the closure of the set of all integer powers of $q$.

After dealing with the boring algebra involved, the previous integral has a value of

$(q-1)\sum_{n=1}^\infty (q^n+q^{-n})e^{-n^2}$

Finding the actual value of this expression boils down to calculate the value of

$\sum_{n=1}^\infty e^{an-n^2}$

This can be done by using the Jacobi Theta Function, which is given by

$\vartheta(z,w)=\sum_{n=-\infty}^\infty \exp(2\pi i nz+\pi i n^2 w)$

for $z\in\mathbb{C}$ and $w\in\mathbb{H}$. Thus letting $z=\frac{-ai}{2\pi}$ and $w=\frac{i}{\pi}$ gives the value that we are looking for. In this case, we have that

$\int_0^\infty e^{-\tau^2}\Delta \tau$
$=\frac{(q-1)}{2}(\vartheta(-ai/2\pi,i/\pi) +\vartheta(ai/2\pi,i/\pi) -2)$

This is a really simple problem at first sight, but it caught my attention the fact that it all relies on determining the value for an expression that looks like

$\sum_{n=1}^\infty e^{p(n)}$

where $p(n)$ was a quadratic polynomial with a negative leading coefficient. A natural question came then to my mind, what would happen if we would have any polynomial instead?

My first idea was to study the case when $p(n)=-n^m$ for a fixed power $m$. The cases when $m=1,2$ are contained in the previous approach using the Jacobi Theta Function. I first try to calculate the series for some values of $m$, and I found that the above expression, as a function of $m$, converged really fast as $m$ was getting bigger.

Actually, it is not difficult to find out that this limit exists and has the value of

$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^\infty e^{-n^m}=\frac{1}{e}$

Following the same line, one can show that for $p(n)=-an^m$, with $a$ a constant, we have that

$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^\infty e^{-an^m}=\frac{1}{e^a}$

Thus, one could say that for a polynomial $p(n)=-an^m+O(n^{m-1})$ a good approximation its given by

$\sum_{n=1}^\infty e^{p(n)} \approx\frac{1}{e^a}$

Looking for a different approach towards a more precise answer, one can define a function given by $f(t)=\sum_{n=1}^\infty e^{p(n) t}$ and this function can be viewed as the heat kernel of a differential operator $P$ whose spectrum is given by $\sigma(P)=\{\lambda_n\}$, where $\lambda_n=p(n)$.

This could suggest the difficulty of such a closed form for $f(1)$, for instance, in the case of $p(n)=-n^m$, this would be related to the existence of an operator $P$ with eigenvalues $\{1/n\}$, which is one of the consequences of the Riemann Hypothesis.

Hausdorffización de un Espacio?

El año pasado después de una plática sobre topología en la universidad, como cosa rara en un ambiente topologico, surgió una pequeña plática sobre espacios de Hausdorff. De dicha discusión, sirgió en mi la inquietud si de alguna forma pudiera medirse cuán Hausdorff es un espacio.

Un espacio topológico se dice Hausdorff si es posible separar puntos, es decir, si dados dos puntos distintos, se pueden hallar vecindades de cada punto disjuntas entre sí. Una definición más formal sería que dados dos puntos distintos $x,y$ de un espacio topológico $X$, existen abiertos $U,V\in \mathcal{T}$ tales que $x\in U$, $y\in V$ y $U\cap V=\emptyset$.

De cierto modo, dos puntos que fallan en cumplir esta propiedad están unidos, en el sentido que cualquier vecindad de uno intersecta a todas las vecindades del otro.

Siguiendo esta conceptualización, si tenemos que la propiedad de separación falla en dos puntos $x,y$, hablando de una manera informal podríamos decir que los puntos no pueden tener vecindades arbitrariamente pequeñas. Con esto en mente, se me ocurrió definir una función $\mathcal{W}:X\to \mathcal{P}(X)$ por $x\mapsto \bigcap_{V\in\mathcal{T}} U$.

La idea es hallar la menor vecindad alrededor de cada punto. Sin embargo, nótese que $\mathcal{W}_x$ no será necesariamente un conjunto abierto, de hecho, en el caso que se trate de un espacio Hausdorff, no es muy difícil de probar que dicha función $\mathcal{W}$ es simplemente $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y por lo tanto, si el espacio es $T_1$, se tiene que $\mathcal{W}_x$ es cerrado.

Posiblemente, esta función pueda ayudar a medir en cierto modo que tan Hausdorff es un espacio. Si un espacio es Hausdorff, se tiene que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ y sería natural preguntar si esta condición es suficiente para ser Hausdorff, es decir, un espacio $X$ es Hausdorff si y solo sí $\forall x\in X$, $\mathcal{W}_x=\{x\}$.

Supongamos que $X$ es un espacio tal que $\mathcal{W}_x=\{x\}$ para todo $x\in X$ y $X$ no es Hausdorff. Sean $x,y$ dos puntos distintos de $X$ tales que cualquier vecindad de $x$ intersecta a todas las vecindades de $y$.

Sea $\mathcal{B}_x$ una base local en $x$ y $\mathcal{B}_y$ una base local en $y$. Puesto que $U\cap V=\emptyset$ para todo $U\in\mathcal{B}_x$ y todo $V\in\mathcal{B}_y$, sea $l_{UV}\in U\cap V$. Utilizando el axioma de elección, defínase $L$ el conjunto de dichos $l_{UV}$. Por definición, se tiene que $x$ es un punto límite de $L$.

Supongamos que $X$ es segundo contable, de esta manera, es posible encontrar una sucesión $\{l_n\}$ en $L$ que converja a $x$. Por definición, para todo $n$, existe una vecindad $V$ de $y$ tal que $l_n\in V$, por lo tanto $l_n\in\overline{V}$ y entonces $x\in \cap_{y\in V\in \mathcal{T}} \overline{V}$ $=\overline{\cap_{y\in V\in \mathcal{T}} V}$ $=\overline{\{y\}}$. Si se supone además que $X$ es $T_1$, entonces $\overline{\{y\}}=\{y\}$, por lo que $x\in \{y\}$ y entonces $x=y$.

Al parecer, esta equivalencia es válida en el ámbito de $X$ ser $T_1$ y segundo contable, no se si puede ser generalizada esta noción, pero me pareció una forma interesante de traducir el concepto de Hausdorff en términos de la menor vecindad que contiene a un punto.

Line orbits on a circle

After a little break time, I decided that a good way to start the year is by posting something that I was thinking on few days ago.

At the beginning of the Winter break, one of my friends back home post me a question about determining the foci a hyperbola just with compass and straightedge constructions. Thinking a little about it, I was trying to find some basic property of the foci of a hyperbola, and it came to my mind that they must have the same property no matter what kind of conic we are looking at, since all conics are equivalent under the $PSL(2,\mathbb{R})$ group.

So I tried to find some kind of property that the foci of all conics share, and one of them can be regarded as some kind of reflection property.

If you have a set of lines that passes through one of the foci of a conic and you take the reflection of these lines on the conic, the resulting set of lines passes through the other focus.

In the case of a circle, the two foci coincide in the center of the circle, so the condition holds, but this made me think of analyzing the orbit of a line in a circle. By this, what I mean is the following: start with a line that intersects the circle, then at the intersection points, reflect the line through the circle and keep with this process. Call the resulting intersection points on the circle, the orbit of the line. Now, a very natural question would be for which kind of lines does this orbit is finite? has a limit point? is dense in the circumference?

At the beginning, the answer seems really straightforward, one could say that the lines that lead to finite orbits are the ones that belong to sides of a regular polygon, which means that the lines leading to finite orbits are the ones whose distance to the center of the circle equals the apothem of some regular polygon inscribed in the circle.

However, this condition is quite weak, since there are more such lines. To look at these, we can take a different approach. One easy way is to look this is by taking the arc length instead. If we take the length of the circumference to be 1, then if the arc lengths of the pieces into which is divided the circle by the line are rationals, we have that the orbit is finite. Moreover, if the arc length is $q/p$, the orbit has length $p$.

This is equivalent to studying the circle regarded as $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, and here the orbit for a value $x$ is the set $\{[nx]: n\in\mathbb{Z}\}$ from where we have that it is finite iff $x\in\mathbb{Q}$ and it is dense in the circle otherwise.

Another interesting question would be to find sufficient conditions for finite orbits on a general conic, and this might be studied using the group structure of the circle $S^1$ and the projective properties of $PSL(2,\mathbb{R})$.