Segunda ley de termodinámica para los enteros

La entropía es una manera de medir la interacción entre lo pequeño y lo grande. Básicamente calcula el número de maneras en que se pueden obtener las mismas características macroscópicas en un sistema variando las propiedades microscópicas.

Un estado con mayor entropía es un estado altamente incierto, puesto que existen varias maneras de obtener dicho estado a partir de configuraciones y la probabilidad de obtenerlo en cierta configuración es entonces muy reducida. Sin embargo, estados con baja entropía tienen gran cantidad de información, puesto que solamente hay un número reducido de formas de obtener dicho estado, así una configuración en particular es altamente probable de ocurrir.

Es posible utilizar estas ideas con los enteros positivos. Podemos pensar que los micro-estados corresponden a los factores de un número y el macro-estado al número en si. Así el número $3$ tiene solo un micro-estado: $3$, sin embargo el número $12$ tiene $4$ micro-estados: $12$, $2\times 6$, $3\times 4$, $2\times 2\times 3$.

Si un macro-estado tiene $P$ diferentes micro-estados igualmente probables, la entropía asociada se define como

$$S=\ln P\,,$$

de esta manera podemos decir que la entropía de $3$ es $S_3=\ln 1=0$ y $S_{12}=\ln 4\sim 1.39$.


En general, podemos definir la entropía de un número como

$$S_n=\ln k\,,$$

donde $k$ es el número de formas distintas de factorizar $n$. Cuando $n=p$ es un número primo tenemos que $S_p=0$. Acá se puede ver la entropía para los números del 1 al 100 y del 1 al 10,000

Con esto podemos calcular el valor esperado de la entropía de un número.  Para $N$ un natural, sea $m=\max S_n$ para $n\leq N$.  Podemos entonces calcular el valor esperado de la entropía para los números hasta $N$ como

$$\langle S \rangle_N =\sum_{k=1}^N \frac{f_k }{N}\ln k\,,$$

donde $f_k$ es el la cantidad de números $n\leq N$ tales que $S_n=\ln k$. Para valores entre 1 y 100 y para valores entre 1 y 10,000 tenemos que las gráficas del valor esperado de la entropía son

Al principio el valor esperado de la entropía tiende a crecer, sin embargo a partir de $N=8,000$ parece estabilizarse un poco. ¿Pudiéramos tener una segunda ley de termodinámica para los naturales?

Probabilities in a loaded die

A few days ago, my friend Jesse and I were talking about how he was going to use actual dice in his class to teach students about probability. He would put them to roll dice and prove that actually each face has about the same probability of coming up.

He told me later that he looked online for loaded dice, that is, dice that would favor some of the faces and not have a uniform distribution. After a while, we thought it would be a nice problem to design a loaded die and to somehow calculate the theoretical probabilities for each face.  This is a  rather complex problem, so I started to think on reasonable simplifications to get something sound.

The main idea is to load a die by changing the center of mass of it. This would definitely impact the chances of getting a particular face. Usually we get that a regular die has a probability of $1/6$ of displaying a given face based on symmetry arguments. But when talking about a loaded die things get loaded.

Instead of considering a 3D die, I tried to analyze the 2D case, by considering a unit square with uniform mass density $\sigma$ and with a point mass $\mu$ at a point $(a,b)$.  This will make the square to have its center of mass at

$$\left(\frac{a \mu +\frac{\sigma }{2}}{\mu +\sigma },\frac{b \mu +\frac{\sigma }{2}}{\mu +\sigma }\right)\,,$$

and not at the center of the square. With this, the symmetries of the square are broken and a new description of its behavior has to be made. 

In order to figure out the probabilities, first we have to define what do we mean by the probability of getting a specific face. One way of doing this is by considering the frequentists point of view of the system: lets roll the die many times and calculate the probabilities as relative frequencies of the outcomes. 

Being this a a posteriori point of view, analyzing the physics of such situation becomes the best approach. 

We want to have the square freely rotating, landing on a flat line, and then recording which face comes up. In order to do this, we have to prescribe an angular velocity of the rotating square, the landing vertex, and the incidence angle. We can simplify the model by just considering the picture when the die lands on the line, forgetting about its spinning past. 

The argument is that by ignoring air resistance, friction, and everything else a good physicist will ignore, the landing angular velocity the square will land with is just a scalar multiple of its original velocity in the air (using conservation of momentum). So a good toy model is starting with a vertex fixed on the line, with an initial angle $\theta_0$ and an initial angular velocity $\omega_0$.  Using Newton's second law, we have that the sum of all torques is equal to the moment of inertia times the angular acceleration of the square. That is

$$I\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}=\sum \tau\,,$$

were the moment of inertia for the square in this configuration is given by 

$$I=\frac{\sigma}{3}+\mu(a^2+b^2)\,,$$

and where we only have one torque acting on the square due to gravity. Putting these together, we have that the system is described by the ODE

$$\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}=-\frac{g || r ||}{I}\cos\left(\theta(t)+\delta\right)\,,$$

with initial conditions $\theta(0)=\theta_0$ and $\theta'(0)=\omega_0$, and where $g$ is gravity, $r$ the position of the center of mass of the square, and $\delta$ its argument. 

This is a nonlinear differential equation which can be numerically solved in mathematica. Solving this equation gives us the rotation angle of the square in time. If the angle reaches $\pi/2$, it means that it completely tilted over the next face, and we would have to make the same analysis again but now with new initial conditions $\Theta(0)=0$ and $\omega(0)=\kappa \theta'(T)$, where $T$ is the time that took the previous face to completely reach the next one and $\kappa$ is a constant describing the energy loss the square experiences when landing on the next face.

We can keep this process as long as the equation 

$$\theta(T)=\frac{\pi}{2}$$

has positive real solutions and the number of times this procedure is carries over will tell us on which face the square is going to stop rolling. 

This approach is completely deterministic, as given any pair of initial conditions $(\theta_0,\omega_0)$, we can calculate on which face the square is going to stop rolling. In order to introduce probabilities, we can asume a probability distribution on the initial angles and the initial velocities. 

It is reasonable to pick a uniform distribution of the incidence angles $\theta_0$, so I choose a uniform probability distribution on $(0,\pi/2)$. As for the initial velocities, the argument relies on the system being cyclic.  It is true that all angular velocities are not equally probable, as when someone grabs an actual die the angular velocities would have a distribution centered towards a preferred value, but when considering the problem only from the landing perspective, what really matters is that the system presents an almost periodic behavior on the initial velocity.  So we can take a uniform distribution on $(0,\omega_{\text{max}})\,.$ We also have to take into account that the die could rol clockwise or anti-clockwise with uniform probability. 

Taking these assumptions into account would make the final probability not to depend on how we roll the die, that is, we are making it up for the lack of the symmetry the system has.

Finally we have to account for the probability of the die landing on a particular vertex. In order to calculate this, we can think that the probability of it landing on a given vertex is proportional to the time this vertex is the closest one to the landing line, while the die is rotating in the air. We can use the moments of mass about the face, and then calculate the probability of a vertex to be the average of its adjacent faces. 

Performing some numerical simulations, we get the following probabilities ($\sigma=1, \mu=100$)

(a,b)	0	1	2	3
(0.5,0)	0.268748	0.34257	0.0461125	0.34257
(0.1,0.1)	0.468528	0.468551	0.031472	0.0314486
(0.5,0.5)	0.25	0.25	0.25	0.25

and here is the code I used in Mathematica (the last function gives a the probability vector {0,1,2,3}):

T[{a_, b_}] = {1 - b, a};

INC[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, c_] := \[Sigma]/

   3 + \[Mu] Norm[Nest[T, {a, b}, c]]^2;

Sol[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, \[Omega]0_, \[Theta]0_, c_] := 

  NDSolve[{\[Theta]''[

      t] == -((9.8 Norm[CM[Nest[T, {a, b}, c], \[Mu], \[Sigma]]])/

       INC[a, b, \[Mu], \[Sigma], c])

        Cos[\[Theta][t] + 

        ArcTan[Nest[T, {a, b}, c][[2]]/

          Nest[T, {a, b}, c][[1]]]], \[Theta][

      0] == \[Theta]0, \[Theta]'[0] == \[Omega]0}, \[Theta][t], {t, 0,

     100}];

Rol[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, W_, A_, c_] := Module[{w, Flag, n, X},

  X = Sol[a, b, \[Mu], \[Sigma], W, A, c];

  w = (0.9) ((D[(\[Theta][t] /. X), 

          t]) /. (NSolve[(\[Theta][t] /. X) == \[Pi]/2, t]))[[1]][[1]];

  Flag = NumericQ[w] && Positive[w];

  n = c;

  While[Flag, 

   n++;

   X = Sol[a, b, \[Mu], \[Sigma], w, 0, n];

   w = (((D[(\[Theta][t] /. X), 

            t]) /. (NSolve[(\[Theta][t] /. X) == \[Pi]/2, t]))[[1]][[

       1]]) (0.9);

   Flag = NumericQ[w] && Positive[w];

   ];

  n

  ]

Fr[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, \[Theta]0_, c_] := 

 Table[Mod[Rol[a, b, \[Mu], \[Sigma], w, \[Theta]0, c], 4], {w, 0, 1, 

   0.01}]

Pr[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, \[Theta]0_, c_] := Module[{temp},

  temp = Fr[a, b, \[Mu], \[Sigma], \[Theta]0, c];

  {Count[temp, 0]/Length[temp], Count[temp, 1]/Length[temp], 

   Count[temp, 2]/Length[temp], Count[temp, 3]/Length[temp]}

  ]

Pro[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_, c_] := Module[{temp},

  temp = Table[

    Pr[a, b, \[Mu], \[Sigma], \[Pi]/2 (i), c], {i, 0, 1, 0.1}];

  Total[temp]/Length[temp]

  ]

M0[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] b + \[Sigma]/2)/(

  2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);

M1[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] a + \[Sigma]/2)/(

  2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);

M2[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] (1 - b) + \[Sigma]/2)/(

  2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);

M3[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (\[Mu] (1 - a) + \[Sigma]/2)/(

  2 \[Mu] + 2 \[Sigma]);

C0[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (

  M0[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M1[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;

C1[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (

  M1[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M2[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;

C2[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (

  M2[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M3[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;

C3[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] = (

  M3[a, b, \[Mu], \[Sigma]] + M0[a, b, \[Mu], \[Sigma]])/2;

Prob[a_, b_, \[Mu]_, \[Sigma]_] := (1/

     2) (C0[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 0] + 

     C1[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 1] + 

     C2[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 2] + 

     C3[a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[a, b, \[Mu], \[Sigma], 3]) + (1/

     2) (C0[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma], 

        0] + C1[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, 

        b, \[Mu], \[Sigma], 1] + 

      C2[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma], 

        2] + C3[1 - a, b, \[Mu], \[Sigma]] Pro[1 - a, 

        b, \[Mu], \[Sigma], 3])[[{1, 4, 3, 2}]]

Prob[a, b, \[Mu], \[Sigma]]

Integrales complejas y sumas divergentes

Como parte de mi investigación he estado estudiando formas de regularizar ciertas series que a primera vista resultan divergentes.  Para esto se han desarrollado muchas técnicas de regularización y yo me he enfocado en utilizar funciones zeta.

Actualmente estoy estudiando un problema relacionado con sumas de Tornheim-Mordell y comencé a utilizar técnicas de análisis complejo para resolver el problema. Básicamente las herramientas más poderosas se basan en el Teorema del Residuo y sus muchas versiones. Un pariente cercano de este resultado es la Transformada de Mellin, la cual resulta ser una Transformada de Fourier disfrazada. 

En términos simplistas, lo que dicen estos resultados es que es posible evaluar una integral de contorno por medio de ver los residuos que quedan encerrados.  Desde un punto de vista más físico, es el equivalente al Teorema de Gauss. Esta interpretación física resulta muy interesante, pues da una intuición de qué cosas esperar. Por ejemplo, resulta natural esperar que exista algún tipo de conservación de energía o carga eléctrica.  En el caso de funciones de variable compleja, tomando en cuenta algunas consideraciones, es posible tener esta conservación. En el plano complejo, esta conservación se traduce en que la suma de los residuos de la función suman cero,

$$\sum_{a\in\text{Polos simples}} \text{Res}(f(z),a)=0\,.$$

Sin embargo, en funciones sencillas como $f(z)=1/z$ parece que esto no aplica. Esta aparente falla se debe a que estamos olvidándonos de lo que sucede en $z=\infty$. Las funciones también pueden tener un residuo en infinito, y en este caso el residuo resulta ser

$$\text{Res} (f(z),\infty)=\text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}f(1/z),0\right)=\text{Res}\left(-\frac{z}{z^2},0\right)=-1\,.$$

Con esta idea en mente, es posible estudiar lo que ocurre con funciones más interesantes. Por ejemplo, consideremos la función 

$$f(z)=\pi \csc(\pi z)\,.$$

Esta tiene polos simples para $z=n,n\in\mathbb{Z}$ con residuos

$$\text{Res }(\pi \csc(\pi z),n)=(-1)^n\,.$$

Al tratar de calcular el residuo en infinito,  tenemos que da $\pm\infty$, lo que intuitivamente querría decir que tenemos un polo de mayor orden en infinito. Por lo tanto, podemos hacernos un poco los locos y decir que

$$\text{Res }(\pi \csc(\pi z),\infty)=0.$$

Si calculamos la integral de $f(z)$ a lo largo de una recta vertical, podemos pensar que estamos calculando la integral cerrada que pasa por infinito del semiplano izquierdo.  (El contorno $L$ encerraría el semiplano izquierdo dada la convención de que el interior de una región siempre queda a la izquierda de la dirección en que se recorre el borde, es decir, la dirección anti-horaria es positiva). Como $f(z)$ no tiene residuo en infinito, podemos esperar que la integral sobre $L$ será finita siempre y cuando $L$ no pase por ninguno de los polos finitos $z=n$. Por ejemplo tomemos $L$ como la recta vertical $\Re(z)=1/3$.  Entonces

$$\frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)dz=\frac{1}{2\pi i}\int _L \pi \csc(\pi z)dz=\frac{1}{2}\,,$$

donde la integral puede facilmente calcularse. Ahora podemos hacer uso de la interpretación anterior y pensar que la integral en realidad puede calcularse sumando los residuos encerrados dentro de la región determinada por $L$, 

$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^{-n}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n=\frac{1}{2}\,.$$

La serie de la izquierda se conoce como la Serie de Grandi y ¡claramente es divergente! Una forma sencilla de verlo es el criterio de Leibniz, sin embargo al regularizar esta suma por diversos métodos se obtiene el resultado de $1/2$. Leibniz estudió esta serie y fue el primero en introducir cierto rigor en su cálculo. Fue duramente criticado, sin embargo Euler lo apoyó y fue así que comenzó el estudio se series divergente. 

Podemos decir que la divergencia de la serie de Grandi se refleja en el hecho de que $f(z)$ tiene un polo en infinito, sin embargo al ser un polo de orden mayor, aún resulta posible obtener un valor regularizado para la serie, no en el sentido usual de convergencia, sino en un sentido más profundo.

Last digits of powers: Mersenne primes and perfect numbers

Recently, a new Mersenne prime has been discovered.  In the highly technological world of today, prime numbers play a, well, prime role.

The search for bigger and bigger primes has been a subject of interest in recent years, mainly due to the increasing computational power that we have achieved, and, oh yes, for the money. One of these big efforts to discover bigger and bigger primes is GIMPS, an online collaborative search for prime numbers.

The newest prime found has the form

$$p_{49}=2^{74207281}-1$$

In particular Mersenne primes are well suited to be found by computers, as computing powers of 2 results in an easy task (just left shift). 

The first question one would ask is, how big is this number anyway? This is an easy question to solve. In order to find out how many digits does $p_{49}$ have, we only have to find its logarithm base 10. This will give the exponent $e$ such that

$$10^e=p_{49},$$

which gives the number of digits $p_{49}$ has by calculating $\lceil e \rceil$.  This gives

$$\lceil e \rceil=\lceil \log 2^{74207281}-1\rceil =\lceil \log 2^{74207281}\rceil=\lceil 74207281 \log 2\rceil=22338618\,,$$

where the second equality is true since $2^{74207281}$ is not a number of the form $999\dots 9$.

The second question that could pop into our minds is, what is the last digit of this number? or even more, what are the last m digits of this number?

In order to solve this, we can use two important results in modular arithmetic: the Chinese Remainder Theorem and Euler's Theorem.

The idea is that we do not need to calculate the whole number to find some of its digits. The relevance of Euler's theorem is that estates that powers leave cyclic remainders when divided by a number. It gives a way to calculate this period. For example, to find the last $m$ digits of, say, $2^k$, really what we are asking is for the remainder that $2^k$ leaves when divided by $10^m$, that is

$$2^k\equiv d \text{ mod } 10^m\,,$$

where $d$ gives the last $m$ digits when taken to be in the least residue system. It is easier to analyze this congruence if we write $10^m=2^m\cdot 5^m$.  Thus the problem translates to

$$2^k\equiv d_1 \text{ mod } 2^m\,,$$

$$2^k\equiv d_2 \text{ mod } 5^m\,.$$

We transformed a single congruence in a system of congruences, which at first sight may seem more complicated, but in fact, it is easier to handle. The first congruence is rather straightforward. If $k>m$ we have that $d_1\equiv 0$. For the second one, we can use the magic of Euler's theorem,  since $gcd(2,5^m)=1$ we have that 

$$2^{\phi(5^m)}\equiv 1 \text{ mod }5^m\,,$$

that is, the period for the powers of $2$ modulo $5^m$ is given by Euler's totient

$$\phi(5^m)=(5-1)5^{m-1}\,.$$

This means that to find out $d_2$, we can reduce the exponent $k$ and only consider its residue modulo $\phi(5^m)$. If 

$$k\equiv e\text{ mod }\phi(5^m)\,,$$

then we have that 

$$2^k\equiv 2^e\text{ mod } 5^m\,.$$

The advantage of this is that instead of calculating the powers with $k$ as the exponent (a huge number), we only need to calculate a power $e$ that is smaller than $4\cdot 5^{m-1}$, which might be much smaller than $k$.

Then, using the Chinese Remainder we get that

$$d\equiv 2^e2^m 2^{4\cdot 5^m-m}\equiv 2^e2^{4\cdot 5^m}\text {mod }10^m\,.$$

This helps us to calculate the last, for example, 3 digits of $p_{49}$ as 352-1=351. 

Another interesting calculation that can be made has to do with perfect numbers.  It is not known a general formula for perfect numbers, but we know that every Mersenne prime creates a perfect number.

$$P=2^{k-1}(2^k-1)$$ 

gives a perfect number if $2^k-1$ is prime. Hence there is an associated perfect number with $p_{49}$ given by

$$2^{74207280}(2^{74207281}-1)\,.$$

Similarly, we can calculate that it is 44,677,235 digits long and its last 3 digits are 776. And the best part, we don't have to know the other 44, 677,232 digits!

¿Cómo se oye el cubo de Rubik?

Hace algunos días encontré una charla TED-Ed muy interesante sobre como relacionar al cubo de Rubik con la música.

Describe un poco la matemática detrás de la resolución del cubo de Rubik presentando los conceptos de grupo, permutaciones, y de como esta estructura matemática puede recibir una interpretación musical.

Ciertas técnicas en teoría musical son precisamente transformaciones realizadas por elementos de un grupo, lo que en matemática se conoce como una acción. Con esta idea se puede poner en práctica lo sugerido por el video y establecer una acción sobre las notas musicales como melodía y acordes para general una representación auditiva de la resolución de un cubo de Rubik.

Para esto podemos comenzar con una configuración del cubo de Rubik como la de la figura. Primero establecemos una forma de codificar las notas musicales con colores

La acción del grupo de permutaciones del cubo sobre las notas musicales está dada por:

• En la cara superior, cada color representa una nota en la melodía en corcheas, comenzando en la esquina verde y en la dirección usual de lectura, izquierda a derecha, arriba a abajo.
• En la cara superior, cada color en las esquinas representa una nota que determina un acorde en la armonía.

Con esto, cada paso para resolver el cubo transforma las caras y por lo tanto define una nueva configuración de melodía y armonía. Así, siguiendo esta configuración inicial se obtienen 58 compases con los 58 pasos para resolver el cubo.  La resolución paso a paso del cubo puede seguirse acá.

El resultado es este:

Es posible variar la acción para añadir más melodía y armonía empleando todas las caras del cubo en vez de centrarse solo en una, pero eso será para otra ocasión.

An infinity between countable and uncountable

In my discrete math class we are talking about functions and cardinalities.

On of the outstanding results of formalizing set theory is the fact that there are different types of infinities,  that is, there is something bigger than infinity, or at least bigger than the usual infinity that we think about. 

One way of dealing with these infinities is by using cardinal numbers.  

These have arithmetic properties, that is, we can add, multiply, and even exponentiate. However, the way of understanding  these operations resort in set theoretical definitions. For example, adding two cardinals amounts to make the union of two disjoint sets, to multiply is to do the cartesian product, and exponentiation is related to finding all the functions from one set into the another. 

Since these operations are well behaved, that is, they satisfy the usual commutativity, associativity, and distributivity properties, we could think of mimicking the construction of rational numbers using cardinals.

Let $\mathcal{N}$ be the set of cardinals smaller than a given cardinal $\mathfrak{w}\geq 1$ and consider the equivalence relation $\sim$ on $\mathcal{N}\times\mathcal{N}$ given by:

$$(\mathfrak{a},\mathfrak{b})\sim(\mathfrak{c},\mathfrak{d}) \text{ iff } \mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}=\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c}\,.$$

We need to only consider the cardinals smaller than a given one since we cannot construct the set of all cardinals. Thus, with this, let $\mathcal{Q}=\mathcal{N}\times\mathcal{N}/\sim$ and define $+,\cdot$ as

$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]+[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]=[(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}+\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{c},\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{d})]$$

$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]\cdot[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]=[(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{c},\mathfrak{b}\cdot\mathfrak{d})]\,.$$

These are well defined, and $[(1,1)]$ and $[(0,1)]$ serve as the multiplicative and additive identities respectively. Thus $\mathcal{Q}$ is a (commutative) ring. The order provided on the cardinals gets lifted to the quotient:

$$[(\mathfrak{a},\mathfrak{b})]\leq[(\mathfrak{c},\mathfrak{d})]\text{ iff } \mathfrak{a}\cdot\mathfrak{d}\leq\mathfrak{c}\cdot\mathfrak{b}\,.$$

Thus, we can also abstract the construction of the real numbers using Dedekind cuts using these cardinal rationals. 

Consider Dedekind type cuts of $\mathcal{Q}$, that is, a partition $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}=\mathcal{Q}$ such that 

$$\forall\mathfrak{a}\in A\text{ and } \forall\mathfrak{b}\in\mathcal{B},\mathfrak{a}<\mathfrak{b}\,.$$

By considering all possible Dedekin type cuts, we can form a new set that behaves like the real numbers, in the sense that it becomes totally ordered and complete.

This suggests that we could do some sort of infinite calculus, with limits and derivatives, which would be nice.

PS: The relation $\sim$ defined above is not an equivalence relation (it fails to be transitive) and hence making the construction not to be a partition of $\mathcal{N}\times\mathcal{N}$, so a good way to make the construction work is by defining a better $\sim$ that makes this posible. If you can find it, maybe we can truly have infinities that behave like the real numbers. 

¿Le creemos a las encuestas? FCN 56%, UNE 29%

Después de haber obtenido una muy buena proyección para la primera vuelta de las elecciones presidenciales en Guatemala, decidí realizar una última proyección para el balotaje del 25 de octubre.

Generalmente las encuestas generan desconfianza y escepticismo. Se piensa que son manipuladas para favorecen alguien en particular y presentar una realidad ficticia. En nuestras sociedades, lastimosamente, eso puede no estar muy alejado de la realidad, sin embargo, desde el punto de vista frío de los números, es posible entender el fenómeno de las encuestas.

"Son encuestas, no profecías." leía por allí en las redes sociales. Una encuesta la podemos pensar como una medición realizada en un momento, y para comprender un poco mejor lo que representan, hay que notar que la intención de voto en la población es un ente dinámico, es decir que cambia con el tiempo.

Si pensamos la intención de voto como la estatura de un niño, las encuestas serían las mediciones que el pediatra realiza a lo largo de la niñez. Las mediciones cambian, y estas individualmente, no pueden predecir la estatura que alcanzará en la edad adulta. Sin embargo,  el pediatra con dichas mediciones puede realizar un modelo (o seguir una curva normal) para predecir la estatura.

De igual manera, las encuestas, vistas aisladamente, no pueden ofrecer una visión clara de los fenómenos, resulta más rico el analizar las tendencias que estas presentan. Para esta segunda vuelta solamente encontré dos encuestas principales de instituciones. Estas fueron realizadas por la firma Felipe Noguera y por ProDatos.

Con estos datos se puede realizar una modelación utilizando cadenas de Markov como se realizó anteriormente.

Dado que la distancia entre ambas encuestas es muy corta, y que la segunda vuelta es muy próxima, es posible proyectar los datos obteniendo una matriz de transición $T$ de tal forma que

$$v_0=\text{ Felipe Noguera}$$

$$v_2=\text{ ProDatos }$$

$$v_3=\text{ Segunda Vuelta}$$

donde el índice cuenta el número de quincenas a partir de la primer encuesta. Entonces se tiene que 

$$T^2v_0=v_2\,,\text{ y } T^3v_0=v_3\,.$$

La matriz de transición $T$ es simétrica positiva y donde la suma de sus columnas (o filas) es 1. Es posible encontrar $T$ utilizando mínimos cuadrados. En este caso el error obtenido fue de $4.16334*10^{-17}$.

Con esto se obtienen los siguientes porcentajes 

El error reportado por las encuestas fue del 3.5% y del 2.8% respectivamente, y utilizando un análisis de propagación de errores, se obtiene un error de proyección del 7.7%.